Русская Википедия:Полунорма

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Полунорма или преднорма — обобщение понятия норма; в отличие от последней, полунорма может равняться нулю на ненулевых элементах пространства.

Определение

Полунормой называется неотрицательная функция <math>p\colon L \to\R</math>, в линейном пространстве <math>L</math> над полем вещественных или комплексных чисел, удовлетворяющая следующим условиям:

1. Абсолютная однородность: <math>p(\alpha x)=|\alpha|p(x)</math> для любого скаляра <math>\alpha</math>
2. Неравенство треугольника: <math>p(x+y) \leqslant p(x)+p(y)</math> для всех <math>x, y \in L</math>

Пространство <math>{(L,\; p)}</math> называется полунормированным пространством.

Свойства

• <math>p(0)=0</math>

Это свойство следует из первого условия определения и равенства <math>0_{\R} \cdot 0_L = 0_L</math>, здесь первый нуль принадлежит полю вещественных или комплексных чисел, а второй и третий — пространству <math>L</math>:

<math>p(0_L)=p(0_\R \cdot 0_L) = |0_\R| \cdot p(0_L) = 0_\R</math> (где <math>0_L = 0_\R \cdot 0_L</math> следует из линейности <math>L</math>)

• <math>p(x)=p(-x)</math>

Это свойство также получается из первого условия при <math>\alpha = -1</math>.

• <math>p(x) \geqslant 0</math>

Если предположить существование такого <math>x^*</math>, что <math>p(x^*) < 0</math>, то из первого условия определения следует, что и <math>p(-x^*) < 0</math>. Воспользовавшись вторым условием, <math>p(0) = p(x^*-x^*) \leqslant p(x^*) + p(-x^*) < 0</math> получаем противоречие с первым свойством.

Литература

• Рудин У. Функциональный анализ, пер. с англ., — Шаблон:М, 1975.