Русская Википедия:Полупрямое произведение
Полупрямое произведение — конструкция в теории групп, позволяющая строить новую группу по двум группам <math>H</math> и <math>N</math>, и действию <math>\phi</math> группы <math>H</math> на группе <math>N</math> автоморфизмами.
Полупрямое произведение групп <math>N</math> и <math>H</math> над <math>\phi</math> обычно обозначается <math>N\rtimes_\phi H</math>.
Конструкция
Пусть задано действие группы <math>H</math> на пространстве группы <math>N</math> с сохранением её групповой структуры. Это означает, что задан гомоморфизм <math>\phi: H \rightarrow \mbox{Aut}(N)</math> группы <math>H</math> в группу автоморфизмов группы <math>N</math>. Автоморфизм группы <math>N</math>, соответствующий элементу <math>h</math> из <math>H</math> при гомоморфизме <math>\phi</math>, обозначим <math>\phi_{h}</math>. За множество элементов полупрямого произведения <math>G = N\rtimes_\phi H</math> групп <math>H</math> и <math>N</math> над гомоморфизмом <math>\phi</math> — берётся прямое произведение <math>N\times H</math>. Бинарная операция <math>*</math> на <math>G</math> определяется по следующему правилу:
- <math>(n_1, h_1) * (n_2, h_2) = (n_1\cdot \phi_{h_1}(n_2), h_1\cdot h_2)</math> для любых <math>n_1,n_2 \in N</math>, <math>h_1,h_2 \in H</math>.
Свойства
- Группы <math>H</math> и <math>N</math> естественно вложены в <math>G</math>, причём <math>N</math> — нормальная подгруппа в <math>G</math>.
- Каждый элемент <math>g\in G</math> однозначно разложим в произведение <math>g=nh</math>, где <math>h</math> и <math>n</math> — элементы групп <math>H</math> и <math>N</math> соответственно. (Это свойство оправдывает название группы <math>G</math> как полупрямого произведения групп <math>H</math> и <math>N</math>.)
- Заданное действие <math>\phi</math> группы <math>H</math> на группе <math>N</math> совпадает с действием <math>H</math> на <math>N</math> сопряжениями (в группе <math>G</math>).
Всякая группа со свойствами 1—3 изоморфна группе <math>G</math> (свойство универсальности полупрямого произведения групп).
Шаблон:Hider(n)^{-1}</math>.
- Отображения <math>n\mapsto(n,1_H)</math> и <math>h\mapsto(1_N,h)</math> гомоморфно вкладывают группы N и H в группу G. Их образы имеют единственный общий элемент - единицу группы G.
- Отображение <math>(n,h)\mapsto h</math> есть эпиморфизм группы G на группу H с ядром N. Отсюда следует, что группа N нормальна в G.
- Равенство <math>(n,h) = (n,1)*(1,h)</math> даёт разложение произвольного элемента группы G в произведение элементов n и h из групп N и H соответственно. Из этого же равенства следует и единственность разложения.
- Равенство <math>(\phi_h(n),1) = (1,h)(n,1)(1,h)^{-1}</math> показывает, что действие группы H на N, задаваемое гомоморфизмом <math>\phi</math> совпадает с действием H на N сопряжениями.
- Чтобы доказать универсальное свойство полупрямого произведения, надо воспользоваться формулой <math>(n_1h_1)\cdot (n_2h_2) = n_1(h_1n_2h_1^{-1})\cdot (h_1h_2)</math>.
Из неё следует, что произведение в группе G с однозначным NH-разложением (при условии нормальности группы N) полностью определяется правилами умножения внутри подгрупп N и H и правилами сопряжения элементов из N элементами из H.}}
Пример
Группа вычетов по модулю 4 (<math>\mathbb{Z}_4</math>) действует на <math>\mathbb{Z}_5</math> (рассматриваемой как аддитивная группа соответствующего кольца) четырьмя разными способами:
- <math>\phi_h(n) = a^h n</math>, где <math>a</math> — фиксированный ненулевой элемент <math>\mathbb{Z}_5</math>, <math>h\in\mathbb{Z}_4</math>, <math>n\in\mathbb{Z}_5</math>.
Соответственно, на множестве <math>\mathbb{Z}_5\times\mathbb{Z}_4</math> можно ввести 4 структуры группы — полупрямого произведения:
- <math>(n_1,h_1)*(n_2,h_2) = (n_1 + n_2, h_1 + h_2)</math>, где <math>a=1</math>;
- <math>(n_1,h_1)*(n_2,h_2) = (n_1 + (-1)^{h_1}n_2, h_1 + h_2)</math>, где <math>{a= 4 \equiv -1}{\pmod 5}</math>;
- <math>(n_1,h_1)*(n_2,h_2) = (n_1 + 2^{h_1}n_2, h_1 + h_2)</math>;
- <math>(n_1,h_1)*(n_2,h_2) = (n_1 + 3^{h_1}n_2, h_1 + h_2)</math>;
Можно показать, что последние две группы изоморфны, а остальные — нет, а также, что эти примеры перечисляют все группы порядка 20, содержащие элемент порядка 4 (при этом используются теоремы Силова).
Подобным образом полупрямое произведение групп используется вообще для классификации конечных групп.
Литература
