Русская Википедия:Порождающее множество группы
Порождающее множество группы — это такое её подмножество, что каждый её элемент может быть представлен в виде конечного произведения элементов из этого подмножества и их обратных. Также используются термины множество образующихШаблон:Sfn и система образующих.
Одна и та же группа может иметь много разных порождающих множеств. Указание порождающего множества позволяет ввести на группе структуру графа Кэли. Кроме того, группы можно задавать, указывая порождающие множества и соотношения между ними.
Определение
Пусть <math>S</math> — подмножество группы <math>G</math>. Подгруппой, порождённой множеством <math>S</math>, называется множество <math>\langle S\rangle</math> всех элементов, которые могут быть представлены в виде конечного произведения элементов из <math>S</math> и их обратных. (другими словами, в G нет хотя бы одной собственной подгруппы, содержащей S) Если <math>S</math> пусто, то, по-определению, <math>\langle S\rangle</math> является тривиальной подгруппой, состоящей только из нейтрального элемента.
Если <math>G=\langle S\rangle</math>, то говорят, что <math>S</math> порождает группу <math>G</math>. При этом множество <math>S</math> называется порождающим, а его элементы — образующими или генераторами (от Шаблон:Lang-en) группы.
Любая группа имеет хотя бы одно порождающее множество: <math>G=\langle G \rangle</math>.
Если в группе <math>G</math> можно выбрать конечное множество образующих, то её называют конечно порождённой. Мощность наименьшего порождающего множества группы называется её рангом.
Например, циклические группы — это в точности группы ранга один.
Замечания
- Множество <math>\langle S\rangle</math> совпадает с пересечением всех подгрупп группы <math>G</math>, содержащих <math>S</math>, и является наименьшей подгруппой в <math>G</math>, содержащей <math>S</math>.
- Если <math>S</math> состоит только из одного элемента <math>x</math>, обычно пишут <math>\langle x\rangle</math> вместо <math>\langle \{x\}\rangle</math>. В таком случае <math>\langle x\rangle</math> — циклическая подгруппа, состоящая из всех степеней элемента <math>x</math>.
Порождающие полугруппы и моноида
Для случая, когда <math>G</math> является полугруппой или моноидом, тоже можно ввести аналогичное понятие порождающего множества: <math>S</math> порождает <math>G</math> как полугруппу или моноид, если <math>G</math> является минимальной полугруппой или минимальным моноидом соответственно, содержащим <math>S</math>.
Такое определение тоже можно изложить на языке представимости элемента в виде комбинации. Для полугруппы можно сказать, что <math>S</math> является порождающим множеством, если каждый элемент <math>G</math> можно представить как конечное произведение элементов из <math>S</math>. Для моноида можно сказать, что <math>S</math> является порождающим множеством, если каждый элемент <math>G</math>, кроме нейтрального, можно представить как конечное произведение элементов из <math>S</math>.
Из-за разницы определений одно и то же множество может быть порождающим в одном смысле, но не быть в другом. Например, для моноида неотрицательных целых чисел <math>(\mathbb{N}_{\geq 0},+)</math> порождающим множеством будет <math>S=\{1\}</math>, но для полугруппы <math>(\mathbb{N}_{\geq 0},+)</math> <math>S</math> уже не является порождающим множеством, так как 0 нельзя представить в виде суммы единиц. Аналогично, для <math>\mathbb{Z}</math> как группы <math>\{1\}</math> является порождающим множеством, а для моноида — нет, так как в определении порождающего множества для моноида не включено взятие обратных.
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Введение в алгебру часть 1 Основы алгебры 149 с.
