Русская Википедия:Портфельная теория Марковица
Портфельная теория Марковица (Шаблон:Lang-en — подход, основанный на анализе ожидаемых средних значений и вариаций случайных величин) — разработанная Гарри Марковицем методика формирования инвестиционного портфеля, направленная на оптимальный выбор активов, исходя из требуемого соотношения доходность/риск. Сформулированные им в 1950-х годах идеи составляют основу современной портфельной теории[1][2].
История возникновения
Основные положения портфельной теории были сформулированы Гарри Марковицем при подготовке им докторской диссертации в 1950—1951 годах.
Рождением же портфельной теории Марковица считается опубликованная в «Финансовом журнале» в 1952 году статья «Выбор портфеля»[3]. В ней он впервые предложил математическую модель формирования оптимального портфеля и привёл методы построения портфелей при определённых условиях[4]. Основная заслуга Марковица состояла в предложении вероятностной формализации понятий «доходность» и «риск», что позволило перевести задачу выбора оптимального портфеля на формальный математический язык[5]. Надо отметить, что в годы создания теории Марковиц работал в RAND Corp., вместе с одним из основателей линейной и нелинейной оптимизации — Джорджем Данцигом и сам участвовал в решении указанных задач. Поэтому собственная теория, после необходимой формализации, хорошо ложилась в указанное русло.
Марковиц постоянно занимается усовершенствованием своей теории и в 1959 году выпускает первую посвящённую ей монографию «Выбор портфеля: эффективная диверсификация инвестиций»[6].
В 1990 году, когда Марковицу вручают Нобелевскую премию, выходит книга «Средне-дисперсионный анализ при выборе портфеля и рынка капитала»[7].
Описание теории
После проведённой Марковицем формализации, с математической точки зрения задача по формированию оптимального портфеля представляла собой задачу квадратической оптимизации при линейных ограничениях[5]. Этот класс задач, является одним из наиболее изученных классов оптимизационных задач, для которых существует большое число эффективных алгоритмов[8].
Для построения пространства возможных портфелей Марковиц предложил использовать класс активов, вектор их средних ожидаемых доходностей и матрицу ковариаций[5].
На основе этих данных строится множество возможных портфелей с различными соотношениями доходность-риск[5].
Так как в основе анализа лежат два критерия, менеджер выбирает портфели[5]:
- Либо поиском эффективных, или неулучшаемых решений. В этом случае любое другое решение, лучше найденных по одному параметру обязательно будет хуже по другому.
- Либо выбирая главный критерий (например, доходность должна быть не ниже определённой величины) остальные используя лишь в качестве критериальных ограничений.
- Либо задавая некий суперкритерий, который является суперпозицией указанных двух (например, их функцией).
Математическая формулировка и решение задач
Портфель Марковица минимального риска
Задача оптимизации портфеля активов с вектором средней доходности <math>r</math> ковариационной матрицей <math>V</math> может быть сформулирована следующим образом
<math> \begin{cases}
\sigma_p^2=d^TVd \rightarrow \min \\ d^T r=r_p \\ d^Te=1 \\
\end{cases} </math>
К этим условиям в задаче оптимизации портфеля активов следует добавить условие положительности портфеля (долей). Однако, в общем случае финансовых инструментов предполагается возможность открытия коротких позиций (отрицательных долей инструментов в портфеле). Тогда можно найти общее аналитическое решение задачи. Если обозначить,
<math>A= \begin{pmatrix}
r^T \\ e^T\\
\end{pmatrix} V^{-1} (r,e)= \begin{pmatrix}
r^T V^{-1} r & r^T V^{-1} e\\
e^T V^{-1} r & e^T V^{-1} e\\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}\\
\end{pmatrix} </math>
то решение задачи имеет вид
<math> d^*= V^{-1}(r,e) A^{-1} \begin{pmatrix}
r_p\\ 1\\
\end{pmatrix} </math>
Тогда зависимость дисперсии оптимизированного (эффективного) портфеля от требуемой доходности будет иметь вид
<math> \sigma_p^2 = (r_p, 1) A^{-1} \begin{pmatrix}
r_p \\ 1
\end{pmatrix} =\frac{a_{22}r_p^2-2a_{12}r_p+a_{11}}{a_{11}a_{22}-a_{12}^2}=\sigma_0^2 \frac{(r_p-r_0)^2} {r_0(r_1-r_0)}+\sigma_0^2 </math>
где <math>\sigma_0^2=1/a_{22}, r_0=a_{12}/a_{22}</math> — минимально возможная дисперсия доходности портфеля и соответствующая ему средняя доходность
- <math>r_1=a_{11}/a_{12}</math> — доходность портфеля, с соотношением риск-доходность таким же как и портфель минимального риска (графически это единственная точка пересечения с параболой прямой, проходящей через начало координат и вершину параболы)
Портфель Тобина минимального риска
При наличии безрискового актива (с нулевой дисперсией доходности) с доходностью <math> r_f</math> формулировка задачи меняется
<math> \begin{cases}
\sigma_p^2=d^TVd \rightarrow \min \\ d^T (r-r_fe)=r_p-r_f \\ d_f=1-d^Te
\end{cases} </math>
Решение этой задачи имеет вид
<math>d^*=\frac {r_p-r_f}{(r-r_fe)^T V^{-1}(r-r_fe)} V^{-1}(r-r_fe)</math>
Вектор структуры рискового портфеля (доли рисковых активов не во всем портфеле, а в общей стоимости рискового портфеля) будет равен
<math>d^{**}=\frac {V^{-1}(r-r_fe)}{e^T V^{-1}(r-r_fe)} </math>
Видно, что структура рисковой части портфеля не зависит от требуемой доходности. Требуемая доходность определяет лишь соотношение рискового портфеля и безрискового актива.
Средняя доходность рискового портфеля будет равна
<math>r^{**}_p=r^Td^{**}=\frac {r^TV^{-1}(r-r_fe)}{e^T V^{-1}(r-r_fe)}=\frac {a_{11}-r_f a_{12}}{a_{12}-r_f a_{22}}=\frac {r_0(r_1-r_f )}{r_0-r_f } </math>
Стандартное отклонение оптимального (эффективного) портфеля зависит от требуемой доходности линейно, а именно следующим образом
<math>\sigma_p=\frac {r_p-r_f}{\sqrt {(r-r_fe)^T V^{-1}(r-r_fe)}}= \frac {\sigma_0(r_p-r_f)}{\sqrt {(r_f-r_0)^2-r_0(r_1-r_0)}} </math>
Нетрудно также определить связь средней доходности отдельных инструментов со средней доходностью портфеля. Для этого определим вектор коэффициентов
<math>\beta=\frac {Vd^*} {\sigma_p^2}=\frac {r-r_fe} {r_p-r_f} \Rightarrow r-r_fe=\beta (r_p-r_f)</math>
Отсюда получаем, что если инвесторы рациональны, то рыночный портфель условно можно считать эффективным, следовательно на рынке средняя доходность инструмента связана с доходностью рыночного портфеля следующим линейным образом
<math>r-r_f=\beta (r_M-r_f)</math>
Это модель оценки финансовых активов — CAPM
См. также
Примечания
Литература
- Гарри Марковиц. Выбор портфеля Шаблон:Wayback
Шаблон:Рынок ценных бумаг Шаблон:Финансовый риск
- ↑ Гитман Л. Дж., Джонк М. Д. Основы инвестирования. Пер. с англ. — М.: Дело, 1997. — 1008 с. ISBN 0-06-0423625 (англ.) ISBN 5-7749-0011-8 (русск.). Стр. 810
- ↑ Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. - СПб., Питер, 2009. - с. 251
- ↑ Markowits Harry M. Portfolio Selection // Journal of Finance. 1952. 7. № 1 pp. 71-91
- ↑ Евсенко Ольга Сергеевна. Инвестиции в вопросах и ответах. Учебное пособие.
- ↑ 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 Ю. Ф. Касимов. Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг — М: Информационно-издательский дом «Филинъ», 1998. — 144 с. ISBN 5-89568-086-0
- ↑ Markowitz H. M. Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investment. Wiley. New York. 1959.
- ↑ Markowitz H. M., Mean Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital Markets. Basil. Blackwell. 1990.
- ↑ Bazaraa M. S., Sherali H.D., Shetty C. M. Nonlinear Programming (2nd ed.) Wiley & Sons, 1994.
