Русская Википедия:Порядковая статистика
Поря́дковые стати́стики в математической статистике — это упорядоченная по неубыванию выборка одинаково распределённых независимых случайных величин и её элементы, занимающие строго определенное место в ранжированной совокупности.
Определение
Пусть <math>X_1,\ldots,X_n</math> — конечная выборка из распределения <math>\mathbb{P}^X</math>, определённая на некотором вероятностном пространстве <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math>. Пусть <math>\omega \in \Omega</math> и <math>x_i = X_i(\omega),\; i=1,\ldots,n</math>. Перенумеруем последовательность <math>\{x_i\}_{i=1}^n</math> в порядке неубывания, так что
- <math>x_{(1)} \le x_{(2)} \le \cdots \le x_{(n-1)} \le x_{(n)}</math>.
Эта последовательность называется вариационным рядом. Вариационный ряд и его члены являются порядковыми статистиками. Случайная величина <math>X_{(k)}(\omega) = x_{(k)}</math> называется <math>k</math>-ой порядковой статистикой исходной выборки[1]. Порядковые статистики являются основой непараметрических методов.
Замечания
Очевидно из определения:
- <math>X_{(1)} = \min(X_1,\ldots,X_n)</math>;
- <math>X_{(n)} = \max(X_1,\ldots,X_n)</math>.
Порядковые статистики абсолютно непрерывного распределения
- Пусть дана независимая выборка <math>X_1,\ldots,X_n</math> из абсолютно непрерывного распределения, задаваемого плотностью распределения <math>f_X</math> и функцией распределения <math>F_X</math>. Тогда порядковые статистики также имеют абсолютно непрерывные распределения, и их плотности распределения имеют вид[2]:
- <math>f_{X_{(k)}}(x) = \frac{n!}{(n-k)!(k-1)!} [F_X(x)]^{k-1} [1-F_X(x)]^{n-k} f_X(x)</math>.
- Случайный вектор <math>\left(X_{(j)},X_{(k)}\right)^{\top}</math>, где <math>1\le j < k \le n</math> также имеет абсолютно непрерывное распределение, и совместная плотность распределения имеет вид:
- <math>f_{X_{(j)},X_{(k)}}(x_j,x_k) = \left\{
\begin{matrix} \frac{n!}{(j-1)!(k-j-1)!(n-k)!} [F_X(x_j)]^{j-1} [F_X(x_k) - F_X(x_j)]^{k-j-1}[1-F_X(x_k)]^{n-k} f_X(x_j) f_X(x_k), & x_j \le x_k \\ 0, & x_j > x_k \end{matrix} \right.</math>.
Пример
Пусть <math>U_1,\ldots,U_n \sim \mathrm{U}[0,1]</math> - выборка из стандартного непрерывного равномерного распределения. Тогда
- <math>f_{U_{(k)}}(u) = \frac{n!}{(n-k)!(k-1)!} u^{k-1} [1-u]^{n-k},\quad u \in [0,1]</math>,
то есть <math>U_{(k)} \sim \mathrm{B}(k,n-k+1)</math>, где <math>\mathrm{B}</math> - бета-распределение;
- <math>f_{U_{(j)},U_{(k)}}(u_j,u_k) = \frac{n!}{(j-1)!(k-j-1)!(n-k)!} u_j^{j-1} [u_k-u_j]^{k-j-1}[1-u_k]^{n-k}, \quad j<k, \quad 0 \le u_j \le u_k \le 1</math>;
- <math>f_{U_{(1)},\ldots,U_{(n)}}(u_1,\ldots,u_n) = n!,\quad 0 \le u_1 \le \cdots \le u_n \le 1</math>.
См. также
Примечания
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Доказательство Шаблон:Wayback, с. 12, з. 1.18
