Русская Википедия:Порядок Шарковского
Порядок Шарковского — упорядочение натуральных чисел, связанное с исследованием периодических точек динамических систем на отрезке или на вещественной прямой.
История
Исследуя унимодальные отображения, в частности, квадратичное отображение, А. Н. Шарковский в 1964 году обнаружил, что в области «хаоса» на соответствующей бифуркационной диаграмме имеются так называемые «окна периодичности» — узкие интервалы значений параметра <math>r</math>, в которых существуют периодические движения; им и соответствуют переходы в порядке Шарковского. В частности, двигаясь в нижней строке против направления стрелок от 1, мы проходим каскад удвоений периодов Фейгенбаума.
Формулировка
Для целых положительных чисел <math>a</math> и <math>b</math> мы будем писать <math>a \to b</math>, если динамическая система на отрезке или прямой, имеющая точку наименьшего периода a, имеет и точку наименьшего периода b.
Теорема Шарковского утверждает, что таким образом задаётся полный порядок на множестве натуральных чисел, устроенный следующим образом:
- → 3 → 5 → 7 → 9 → 11 → 13 → …
- → 3×2 → 5×2 → 7×2 → 9×2 → 11×2 → 13×2 → …
- → 3×2² → 5×2² → 7×2² → 9×2² → 11×2² → 13×2² → …
- …………………………………
- → 2n → 2n−1 → … → 25 → 24 → 2³ → 2² → 2 → 1.
В верхней строчке выписаны в порядке возрастания все нечётные числа, кроме 1, во второй строке — произведения нечётных чисел (кроме 1) на 2, в третьей — произведения нечётных чисел на 2², в k-й строке сверху — произведения нечётных чисел на <math>2^{k-1}</math>. Наконец, в последней (нижней) строке представлены чистые степени двойки.
Период 3 влечёт хаос
В частности, число 3 — наибольшее в смысле этого упорядочения, поэтому наличие точки периода 3 влечёт за собой наличие точки с любым периодом. Часто этот частный случай сокращённо формулируют как «период 3 влечёт хаос». Случай периодической точки периода 3 — наиболее содержательный. В случае наличия точки периода 3 можно утверждать «хаотичность» системы и в других смыслах; например, топологическая энтропия системы будет положительна.Шаблон:Нет АИ
Набросок доказательства
В этом случае найдутся различные точки <math>a, b, c</math>, для которых
- <math>f(a) = b, \quad f(b) = c, \quad f(c) = a.</math>
Можно без ограничения общности считать, что <math>a < b < c</math>.
Тогда для отрезков <math>I_0 = [a, b]</math> и <math>I_1 = [b, c]</math> выполнено
- <math>
f(I_0) \supset I_1, \quad f(I_1) \supset I_0 \cup I_1.
</math>
Отсюда несложно вывести, что для любого конечного слова <math>w = w_0 w_1 \dots w_{k-1}</math>, составленного из нулей и единиц и не содержащего двух нулей подряд, найдётся такой интервал <math>I_w</math>, что
- <math>
f^j(I_w) \subset I_{w_j}, \quad j = 1, \dots, k - 2,
</math>
- <math>
f^{k-1}(I_w) = I_{w_{k-1}}.
</math>
Отсюда уже несложно построить периодическую точку любого периода <math>k</math>: достаточно взять в алфавите из нулей и единиц любое периодическое слово <math>\omega = (w), \ |w| = k</math> наименьшего периода <math>k</math> без двух нулей подряд. Для соответствующего ему отрезка <math>I_w</math> выполнено
- <math>
f^k(I_w) \supset I_w,
</math> поэтому в этом отрезке найдётся периодическая точка соответствующего периода. Наконец, в терминах символической динамики (для разбиения <math>I_0</math>, <math>I_1</math>, дополнение) её судьба это последовательность <math>\omega</math>, у которой <math>k</math> является наименьшим периодом, поэтому <math>k</math> является наименьшим периодом и для построенной точки.
Литература
Ссылки
