Русская Википедия:Порядок группы

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Порядок группы — мощность носителя группы, то есть, для конечных групп — количество элементов группы. Обозначается <math>|G|</math> или <math>\mathbf{Ord(G)}</math>.

Для конечных групп связь между порядком группы и её подгруппы устанавливает теорема Лагранжа: порядок группы <math>G</math> равен порядку любой её подгруппы <math>H \subseteq G</math>, умноженному на её индекс — количество её левых или правых классов смежности:

<math>|G| = |H| \cdot [G : H]</math>.

Важным результатом о порядках групп является уравнение класса, связывающее порядок конечной группы <math>G</math> с порядком её центра <math>\mathrm Z(G)</math> и размерами её нетривиальных классов сопряжённости:

<math>|G| = |Z(G)| + \sum_{i}d_i</math>,

где <math>d_i</math> — размеры нетривиальных классов сопряжённости. Например, центр симметрической группы <math>S_3</math> — просто тривиальная группа из одного нейтрального элемента <math>e</math>, и уравнение превращается в <math>|S_3| = 1+2+3</math>.

Порядок элементов конечных групп делит её групповой порядок. Из теоретико-групповой теоремы Коши следует, что порядок группы <math>G</math> является степенью целого простого числа <math>p</math> в том и только в том случае, когда порядок любого из её элементов является некоторой степенью <math>p</math>.

Литература

• Книга:Общая алгебра