Русская Википедия:Порядок элемента
Порядок элемента в теории групп — наименьшее положительное целое <math>m</math>, такое что <math>m</math>-кратное групповое умножение данного элемента <math>g \in G</math> на себя даёт нейтральный элемент:
- <math>\underbrace{g g \dots g }_{m} = g^m = e</math>.
Иными словами, <math>m</math> — количество различных элементов циклической подгруппы, порождённой данным элементом. Если такого <math>m</math> не существует (или, эквивалентно, число элементов циклической подгруппы бесконечно), то говорят, что <math>g</math> имеет бесконечный порядок. Обозначается как <math>\mathrm{ord}(g)</math> или <math>|g|</math>.
Изучение порядков элементов группы может дать сведения о её структуре. Несколько глубоких вопросов о связи порядка элементов и порядка группы содержатся в различных проблемах Бёрнсайда, некоторые из них остаются открытыми.
Основные свойства
Порядок элемента равен единице тогда и только тогда, когда элемент является нейтральным.
Если всякий не нейтральный элемент в <math>G</math> совпадает со своим обратным (то есть <math>g^2 = e</math>), то <math>\mathrm{ord}(a) = 2</math> и <math>G</math> является абелевой, поскольку <math>ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba</math>. Обратное утверждение в общем случае неверно: например, (аддитивная) циклическая группа <math>\Z_6</math> целых чисел по модулю 6 — абелева, но число 2 имеет порядок 3:
- <math>2+2+2=6 \equiv 0 \pmod {6}</math>.
Для любого целого <math>k</math> тождество <math>g^k = e</math> выполнено тогда и только тогда, когда <math>\mathrm{ord}(g)</math> делит <math>k</math>.
Все степени элемента бесконечного порядка имеют также бесконечный порядок. Если <math>g</math> имеет конечный порядок, то порядок <math>g^k</math> равен порядку <math>g</math>, делённому на наибольший общий делитель чисел <math>\mathrm {ord}(g)</math> и <math>k</math>. Порядок обратного элемента совпадает с порядком самого элемента (<math>\mathrm{ord}(g) = \mathrm{ord}(g^{-1})</math>).
Связь с порядком группы
Порядок любого элемента группы делит порядок группы. Например, в симметрической группе <math>S_3</math>, состоящей из шести элементов, нейтральный элемент <math>e</math> имеет (по определению) порядок 1, три элемента, являющихся корнями из <math>e</math> — порядок 2, а порядок 3 имеют два оставшихся элемента, являющихся корнями элементов порядка 2: то есть, все порядки элементов являются делителями порядка группы.
Частично обратное утверждение верно для конечных групп (теоретико-групповая теорема Коши): если простое число <math>p</math> делит порядок группы <math>G</math>, то существует элемент <math>g \in G</math>, для которого <math>\mathrm{ord}(g) =p</math>. Утверждение не выполняется для составных порядков, так, четверная группа Клейна не содержит элемента порядка четыре.
Порядок произведения
В любой группе <math> \mathrm{ord}(ab) = \mathrm{ord}(ba)</math>.
Не существует общей формулы, связывающей порядок произведения <math>ab</math> с порядками сомножителей <math>a</math> и <math>b</math>. Возможен случай, когда и <math>a</math>, и <math>b</math> имеют конечные порядки, в то время как порядок произведения <math>ab</math> бесконечен, также возможно, что и <math>a</math>, и <math>b</math> имеют бесконечный порядок, в то время как <math>\mathrm{ord}(ab)</math> конечен. Пример первого случая — в симметрической группе над целыми числами перестановки, задаваемые формулами <math>a(x) = 2-x, b(x) = 1-x</math>, тогда <math>ab(x) = x-1</math>. Пример второго случая — перестановки в той же группе <math>a(x) = x+1, b(x) = x-1</math>, произведение которых является нейтральным элементом (перестановка <math>ab(x) = \mathrm{id}</math>, оставляющая элементы на своих местах). Если <math>ab = ba</math> то можно утверждать, что <math>\mathrm{ord}(ab)</math> делит наименьшее общее кратное чисел <math>\mathrm{ord}(a)</math> и <math>\mathrm{ord}(b)</math>. Следствием этого факта является, что в конечной абелевой группе порядок любого элемента делит максимальный порядок элементов группы.
Подсчёт по порядку элементов
Для данной конечной группы <math>G</math> порядка <math>n</math>, число элементов с порядком <math>d</math> (<math>d</math> — делитель <math>n</math>) кратно <math>\varphi(d)</math>, где <math>\varphi</math> — функция Эйлера, дающая число положительных чисел, не превосходящих <math>d</math> и взаимно простых с ним. Например, в случае <math>S_3</math> <math>\varphi(3) = 2</math>, и имеется в точности два элемента порядка 3; при этом данное утверждение не даёт никакой полезной информации относительно элементов порядка 2, поскольку <math>\varphi(2) = 1</math>, и очень ограниченную информацию о составных числах, таких как <math>d=6</math>, поскольку <math>\varphi(6)=2</math>, и в группе <math>S_3</math> имеется нуль элементов порядка 6.
Связь с гомоморфизмами
Гомоморфизмы групп имеют свойство понижать порядок элементов. Если <math>f: G \to H</math> является гомоморфизмом, и <math>g \in G</math> — элемент конечного порядка, то <math>\mathrm{ord}(f(g))</math> делит <math>\mathrm{ord}(g)</math>. Если <math>f</math> инъективно, то <math>\mathrm{ord}(f(g)) = \mathrm{ord}(g)</math>. Этот факт может быть использован для доказательства отсутствия (инъективного) гомоморфизма между двумя какими-либо заданными группами. (Например, не существует нетривиального гомоморфизма <math>h: S_3 \to \Z_5</math>, поскольку любое число, за исключением нуля, в <math>\Z_5</math> имеет порядок 5, а 5 не делит ни один из порядков 1, 2 и 3 элементов <math>S_3</math>.) Другим следствием является утверждение, что сопряжённые элементы имеют одинаковый порядок.
Литература
