Русская Википедия:Последовательность
В математике последовательность — это пронумерованный набор каких-либо объектов, среди которых допускаются повторения, причём порядок объектов имеет значение. Нумерация чаще всего происходит натуральными числами. Более общие случаи см. в разделе Вариации и обобщения.
В данной статье последовательность подразумевается бесконечной; случаи конечной последовательности оговариваются особо.
Примеры
Примеры числовой последовательности:
- Примером конечной последовательности может служить последовательность домов на улице.
- Многочлен от одной переменной <math>a_0+a_1x + \dots +a_n x^n</math> можно рассматривать как конечную последовательность его коэффициентов, или бесконечную — в предположении <math>a_i = 0</math> при <math> i > n</math>.
- Последовательность простых чисел является одной из наиболее известных нетривиальных бесконечных числовых последовательностей.
- Каждому действительному числу может быть сопоставлена собственная последовательность, называемая цепной дробью — причём для рациональных чисел она всегда конечна, для алгебраических иррациональных чисел бесконечна (для квадратичных иррациональностей — периодична), а для трансцендентных чисел бесконечна и не периодична, хотя отдельные числа и могут встречаться в ней бесконечное число раз. Например, цепная дробь для числа <math>\frac{13}{9}</math> конечна и равна <math>[1; 2, 4]</math>, а цепная дробь числа <math>\pi</math> уже бесконечна, не периодична и выглядит следующим образом: <math>[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, \dots]</math>.
- В геометрии часто рассматривается последовательность правильных многоугольников, форма которых зависит только от количества вершин.
- Последовательность может состоять даже из множеств — к примеру, можно составить последовательность, в которой на <math>n</math>-ой позиции находится множество всех многочленов степени <math>n</math> с целыми коэффициентами от одной переменной.
Числовая последовательность
Строгое определение
Пусть задано некоторое множество <math>X</math> элементов произвольной природы.
Всякое отображение <math>f\colon\mathbb{N}\to X</math> множества натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> в заданное множество <math>X</math> называется последовательностью[1] (элементов множества <math>X</math>).
Обозначения
Последовательности вида
- <math>x_1, x_2, x_3,\dots</math>
принято компактно записывать при помощи круглых скобок:
- <math>(x_n)</math> или <math>(x_n)_{n=1}^{\infty}</math>.
Иногда используются фигурные скобки:
- <math>\{x_n\}_{n=1}^{\infty}</math>.
Конечные последовательности могут записываться в следующем виде:
- <math>(x_n)_{n=1}^N</math>.
Также последовательность может быть записана как
- <math>(f(n))</math>,
если функция <math>f</math> была определена ранее, или же её обозначение может быть заменено на саму функцию. Например, при <math>f(n)=n^3</math> последовательность можно записать в виде <math>(n^3)</math>.
Связанные определения
- Образ натурального числа <math>n</math>, а именно элемент <math>x_n=f(n)</math>, называется <math>n</math>-ым членом последовательности, а порядковый номер <math>n</math> члена последовательности <math>x_n</math> — его индексом.
- Подмножество <math>f\left[\mathbb{N}\right]</math> множества <math>X</math>, которое образовано элементами последовательности, называется носителем последовательности: пока индекс пробегает множество натуральных чисел, точка, «изображающая» члены последовательности, «перемещается» по носителю.
- Подпоследовательностью последовательности <math>(x_n)</math> называется зависящая от <math>k</math> последовательность <math>(x_{n_k})</math>, где <math>(n_k)</math> — возрастающая последовательность натуральных чисел. Подпоследовательность можно получить из изначальной последовательности, выкинув из неё некоторые члены.
Замечания
- Любое отображение множества <math>\mathbb{N}</math> в себя также является последовательностью.
- Последовательность элементов множества <math>X</math> может быть рассмотрена, как упорядоченное подмножество <math>X</math>, изоморфное множеству натуральных чисел.
Способы задания числовых последовательностей
- Аналитический, где формула определяет последовательность n-го члена, например: <math>a_n=\frac{n}{n+1}</math>
- Рекуррентный, Например, числа Фибоначчи, где любой член последовательности выражается через предшествующие: <math>a_1 = 0,a_2= 1,a_{n+2}= a_n+a_{n+1}</math>
- Словесный; Например, для любой бесконечной десятичной дроби можно построить последовательность её десятичных приближений по недостатку или избытку, округляя в каждой итерации дробь в меньшую или большую сторону.
Последовательность действий
Шаблон:Основная статья «Алгоритм — это строгая и логичная последовательность действий для решения какой-либо задачи (математической, информационной и т. п.).»[2][3]
Последовательности в математике
В математике рассматривают различные типы последовательностей:
- числовые последовательности;
- последовательности элементов метрического пространства;
- временны́е ряды как числовой, так и не числовой природы;
- последовательности элементов функционального пространства;
- последовательности состояний систем управления и автоматов.
Практически важные задачи, возникающие при изучении последовательностей:
- Выяснение вопроса, конечна данная последовательность или бесконечна. Например, на 2020 год известно 51 простое число Мерсенна, но не доказано, что больше таких чисел нет.
- Поиск закономерностей среди членов последовательности.
- Поиск аналитической формулы, которая может служить хорошим приближением для <math>n</math>-го члена последовательности. Например, для <math>n</math>-го простого числа неплохое приближение даёт формула: <math>n \ln(n)</math> (существуют и более точные).
- Прогноз будущих состояний, в первую очередь выяснение вопроса, сходится ли данная последовательность к конечному или бесконечному пределу <math>(</math>числовому или не числовому, в зависимости от типа множества <math>X).</math>
Вариации и обобщения
- Члены последовательности не обязательно должны нумероваться натуральными числами — к примеру, последовательность Фибоначчи может быть продолжена на отрицательные целые числа.
- Существуют и так называемые многомерные последовательности, нумеруемые элементами декартова произведения <math>\mathbb{N}\times\mathbb{N}\times\dots\times\mathbb{N}</math>. К таким относится, например, многомерное расширение последовательности Туэ-Морса. Также многочлен от нескольких переменных <math>x_1,x_2,\dots x_{n-1},x_n</math> можно рассматривать как конечную <math>n</math>-мерную последовательность, где на позиции <math>i_1,i_2,\dots i_{n-1},i_n</math> находится коэффициент при произведении <math>x_1^{i_1}x_2^{i_2}\dots x_{n-1}^{i_{n-1}}x_n^{i_n}</math>.
См. также
Примечания
Литература
Шаблон:Rq Шаблон:Последовательности и ряды
