Русская Википедия:Последовательность Битти
Шаблон:Плохой перевод Шаблон:Нет ссылок
В математике однородная последовательность Битти — последовательность целых чисел, найденных путём взятия целой части («пола») положительных кратных положительных иррациональных чисел. Последовательности Битти названы в честь Сэмюэля Битти, написавшего о них в 1926 году. Последовательности Битти также могут быть использованы для генерации Шаблон:Iw.
Определение последовательности Битти
Последовательность Битти, основанием для которой служит какое-либо положительное иррациональное число, можно задать следующим образом:
- <math>\mathcal{B}_r = \lfloor r \rfloor, \lfloor 2r \rfloor, \lfloor 3r \rfloor,\ldots</math>
В случае, если <math>r > 1 \,</math>, то <math>s = r/(r-1)</math> тоже является положительным иррациональным числом. При этом эти два числа порождают следующую зависимость: <math>\frac 1 r+\frac 1 s=1</math>.
Две последовательности Битти, которые они задают, а именно,
- <math>\mathcal{B}_r = ( \lfloor nr \rfloor)_{n\geq 1}</math> и
- <math>\mathcal{B}_s = ( \lfloor ns \rfloor)_{n\geq 1}</math>,
образуют пару комплементарных последовательностей Битти. Здесь слово «комплементарный» означает, что каждое положительное целое число принадлежит ровно к одной из этих двух последовательностей.
Примеры последовательностей Битти
В случае, где <math>r=\varphi</math>, где <math>\varphi</math> - золотое сечение, имеем <math>s=r+1</math>. В этом случае, последовательность <math>\mathcal{B}_r=\mathcal{\check{W}}</math>, становится нижней последовательностью Витоффа:
- 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 29, ... Шаблон:OEIS.
Комплементарной последовательностью <math>\mathcal{B}_s</math>, является последовательность <math>\widehat{\mathcal{W}}</math> - верхняя последовательность Витоффа:
- 2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 31, 34, 36, 39, 41, 44, 47, ... Шаблон:OEIS.
С другой стороны, для <math>r=\sqrt{2}</math>, имеем <math>s=2+\sqrt{2}</math>. В этом случае вырождаются следующие последовательности:
- 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24, ... Шаблон:OEIS и
- 3, 6, 10, 13, 17, 20, 23, 27, 30, 34, 37, 40, 44, 47, 51, 54, 58, ... Шаблон:OEIS.
Для <math>r=\pi</math> и <math>s=\cfrac{\pi}{\pi-1}</math> вырождаются последовательности
- 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 47, 50, 53, ... Шаблон:OEIS и
- 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 24, 26, ... Шаблон:OEIS.
Любое число из первой последовательности отсутствует во второй и наоборот.
История
Последовательность Битти получила свое название от задачи, поставленной в Американском математическом ежемесячнике Самуэлем Битти в 1926 году[1][2]. Это, вероятно, одна из наиболее часто цитируемых проблем, когда-либо поставленных в данном журнале. Однако даже раньше, в 1894 году, такие последовательности были кратко упомянуты Джоном В. Струттом (3-й барон Рэлея) во втором издании его книги «Теория звука»[3].
Теорема Рэлея о последовательности Битти (теорема Битти)
Шаблон:Не путатьТеорема Рэлея, названная в честь лорда Рэлея, утверждает, что дополнение последовательности Битти, состоящее из положительных целых чисел, которые не находятся в последовательности, само по себе является последовательностью Битти, порожденной другим иррациональным числом[3]. Шаблон:Теорема
Первое доказательство
Считая, что <math>r > 1 \,</math>, пусть <math>s = r/(r-1)</math>. Докажем, что <math>\forall x\in\mathbb{Z}^+: x\ \overset{!}{\in}\ \mathcal{B}_{r|s} </math> , где операнд "|" является операндом "или". Мы сделаем это, рассматривая порядковые позиции, занимаемые всеми дробями <math>\frac j r</math> и <math>\frac k s </math>, совместно перечисленными в неубывающем порядке для <math>j,k\in\mathbb{Z}^+</math>.
Чтобы увидеть, что никакие два числа не могут занимать одну и ту же позицию (как одно число), предположим, что, наоборот, <math>\exists j,k\in\mathbb{Z}^+:\frac j r = \frac k s</math>, тогда дроби <math>\frac r s=\frac j k\in\mathbb{Z}</math>, но, в то же время, <math>\frac r s =r(1-\frac 1 r)=r-1</math>, и эта дробь не принадлежит множеству целых чисел. Поэтому никакие два числа не занимают одну и ту же позицию.
Для любой дроби <math>\frac j r</math>, существует ровно <math>j</math> чисел <math>\frac i r \le \frac j r</math> и ровно <math> \lfloor js/r \rfloor</math> чисел <math>\frac k s \le \frac j r</math>, так что позиция дроби <math>\frac j r </math> в своеобразном массиве будет <math>j + \lfloor js /r \rfloor</math>. Уравнение <math>\frac 1 r+\frac 1 s=1</math> превращается в следующее:
- <math>j + \lfloor js/r \rfloor = j + \lfloor j(s - 1) \rfloor = \lfloor js \rfloor</math>.
Аналогично, позиция дроби <math>k/s</math> в массиве будет <math>\lfloor kr \rfloor</math>.
Вывод: каждое положительное целое число (то есть каждая позиция в списке) имеет вид <math>\lfloor nr \rfloor</math> или <math>\lfloor ns \rfloor</math>, но не оба одновременно. Обратное утверждение также верно: если <math>p,q\in\mathbb{R}</math>, так что каждое положительное целое число встречается ровно один раз в приведенном выше списке, то <math>p,q\in\mathbb{I};\ \frac 1 p + \frac 1 q =1</math>.
Обобщения
Если немного её изменить, то теорема Рэлея может быть обобщена на положительные действительные числа (не обязательно иррациональные), а также на отрицательные целые числа: если положительные действительные числа удовлетворяют <math>r</math> и <math>s</math> удовлетворяют <math>1/r + 1/s = 1</math>, последовательности <math>( \lfloor mr \rfloor)_{m \in \mathbb{Z}}</math> и <math>( \lceil ns \rceil -1)_{n \in \mathbb{Z}}</math> образуют раздел целых чисел. Например, белые и черные клавиши клавиатуры фортепиано распределяются в виде таких последовательностей для <math>r = 12/7</math> и <math>s = 12/5</math>.
Теорема Ламбека-Мозера обобщает теорему Рэлея и демонстрирует, что более общие пары последовательностей, определяемые из целочисленной функции и её обратной функции, обладают тем же свойством разбивать целые числа.
Теорема Успенского утверждает, что если <math>\alpha_1,\ldots,\alpha_n</math> положительные действительные числа, такие как <math>(\lfloor k\alpha_i\rfloor)_{k,i\ge1}</math>, содержат все положительные целые числа ровно один раз, тогда <math>n\le2.</math> То есть не существует эквивалента теоремы Рэлея для трех или более последовательностей Битти[4][5].
Важными темами в последовательности Битти являются: простые числа и суммы значений арифметических функций.
Список литературы
Литература для дополнительного чтения
Ссылки
- Шаблон:Mathworld
- Alexander Bogomolny, Beatty Sequences, Cut-the-knot
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ 3,0 3,1 Шаблон:Книга
- ↑ J. V. Uspensky, On a problem arising out of the theory of a certain game, Amer. Math. Monthly 34 (1927), pp. 516–521.
- ↑ R. L. Graham, On a theorem of Uspensky, Amer. Math. Monthly 70 (1963), pp. 407–409.
