Русская Википедия:Последовательность Люка
В математике, последовательностями Люка называют семейство пар линейных рекуррентных последовательностей второго порядка, впервые рассмотренных Эдуардом Люка.
Последовательности Люка представляют собой пары последовательностей <math>\{U_n(P,Q)\}</math> и <math>\{V_n(P,Q)\}</math>, удовлетворяющих одному и тому же рекуррентному соотношению с коэффициентами P и Q:
- <math>U_0(P,Q) = 0,\quad U_1(P,Q)=1,\quad U_{n+2}(P,Q)=P\cdot U_{n+1}(P,Q) - Q\cdot U_n(P,Q),\,n\geq 0</math>
- <math>V_0(P,Q) = 2,\quad V_1(P,Q)=P,\quad V_{n+2}(P,Q)=P\cdot V_{n+1}(P,Q) - Q\cdot V_n(P,Q),\,n\geq 0</math>
Примеры
Некоторые последовательности Люка носят собственные имена:
- <math>\{U_n(1,-1)\}</math> — числа Фибоначчи
- <math>\{V_n(1,-1)\}</math> — числа Люка
- <math>\{U_n(2,-1)\}</math> — числа Пелля
- <math>\{V_n(2,-1)\}</math> — числа Пелля — Люка
- <math>\{U_n(3,2)\}</math> — числа Мерсенна
- <math>\{V_{2^n}(3,2)\}</math> — числа Ферма
- <math>\{U_n(1,-2)\}</math> — числа Якобшталя
- <math>\{U_n(2x,1)\}</math> — многочлены Чебышёва второго рода
- <math>\{V_n(2x,1)\}</math> — многочлены Чебышёва первого рода умноженные на 2
Явные формулы
Характеристическим многочленом последовательностей Люка <math>\{U_n(P,Q)\}</math> и <math>\{V_n(P,Q)\}</math> является:
- <math>x^2 - P\cdot x + Q. </math>
Его дискриминант <math>D = P^2 - 4Q</math> предполагается не равным нулю. Корни характеристического многочлена
- <math>\alpha = \frac{P + \sqrt{D}}{2}</math> и <math>\beta = \frac{P - \sqrt{D}}{2}</math>
можно использовать для получения явных формул:
- <math>U_n(P,Q) = \frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta} = \frac{\alpha^n - \beta^n}{\sqrt{D}}</math>
и
- <math>V_n(P,Q) = \alpha^n + \beta^n.</math>
Формулы Виета позволяют также выразить <math>P</math> и <math>Q</math> в виде:
- <math> P = \alpha + \beta,</math>
- <math> Q = \alpha \cdot \beta.</math>
Вырожденный случай
Дискриминант <math>D</math> обращается в ноль при <math>P=2S, Q=S^2</math> для некоторого числа <math>S</math>. При этом выполняется <math>\alpha=\beta=S</math> и соответственно:
- <math> U_n(2S,S^2)=nS^{n-1},</math>
- <math> V_n(2S,S^2)=2S^n.</math>
Свойства
- <math> DU_n=V_{n+1}-QV_{n-1}=2V_{n+1}-PV_n</math>
- <math> V_n=U_{n+1}-QU_{n-1}=2U_{n+1}-PU_n</math>
- <math> U_{n+m}=U_nU_{m+1}-QU_mU_{n-1}=\frac{U_nV_m+U_mV_n}{2}</math>
- <math> V_{n+m}=V_nV_m-Q^mV_{n-m}</math>
- <math> U_{2n}=U_nV_n=\frac{U^2_{n+1}-Q^2U^2_{n-1}}{P}</math>
- <math> V_{2n}=V^2_n-2Q^n </math>
- <math> U_{2n+1}=U^2_{n+1}-QU^2_n</math>
Ссылки
- Шаблон:Статья
- Грант Аракелян. Математика и история золотого сечения. — М.: Логос, 2014, 404 с. — ISBN 978-5-98704-663-0.
