Русская Википедия:Последовательность Майера — Вьеториса
Последовательность Майера — Вьеториса — естественная длинная точная последовательность, связывающая гомологии пространства с гомологиями двух покрывающих его открытых множеств и их пересечения.
Последовательность Майера — Вьеториса можно написать для различных теорий гомологий, в том числе сингулярных, а также для всех теорий, удовлетворяющих аксиомам Стинрода — Эйленберга.
Названа в честь двух австрийских математиков, Вальтера Майера и Леопольда Вьеториса.
Формулировка
Предположим, топологическое пространство <math>X</math> представляется как объединение открытых подмножеств <math>A</math> и <math>B</math>. Последовательность Майера — Вьеториса:
- <math>\begin{align}
\cdots\rightarrow H_{n+1}(X)\,&\xrightarrow{\partial_*}\,H_{n}(A\cap B)\,\xrightarrow{(i_*,j_*)}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,\xrightarrow{k_* - l_*}\,H_{n}(X)\xrightarrow{\partial_*}\\ &\quad\xrightarrow{\partial_*}\,H_{n-1} (A\cap B)\rightarrow \cdots\rightarrow H_0(A)\oplus H_0(B)\,\xrightarrow{k_* - l_*}\,H_0(X)\rightarrow\,0. \end{align}</math>
Здесь отображения <math>i\colon A\cap B\to A</math>, <math>j\colon A\cap B\to B</math>, <math>k\colon A\to X</math>, <math>l\colon B\to X</math> — отображения включения, и <math>\oplus</math> обозначает прямую сумму абелевых групп.
Отображение границы <math>\partial_{*}</math>, понижающее размерность, может быть определено следующим образом. Элемент в <math>H_n(X)</math> представляется <math>n</math>-циклом <math>x</math>, который может быть записан как сумма двух <math>n</math>-цепей <math>u</math> и <math>v</math>, образы которых лежат полностью в <math>A</math> и <math>B</math>, соответственно. Этого можно добиться, применив к <math>x</math> барицентрическое подразделение несколько раз.
Таким образом, <math>\partial x=\partial u+\partial v=0</math>, так что <math>\partial u=-\partial v</math>. Заметим, что обе границы <math>\partial u</math> и <math>\partial v</math> лежат в <math>A\cap B</math>. Тогда <math>\partial_{*}[x]</math> определяется как класс <math>[\partial u]\in H_{n-1}(A\cap B)</math>. При этом выбор разложения <math>x= u+ v</math> не влияет на значение <math>[\partial u]</math>.
Замечания
- Отображения в последовательности зависят от выбора порядка для <math>A</math> и <math>B</math>.
- В частности, отображение границы меняет знак, если <math>A</math> и <math>B</math> меняются местами.
Приложения
Гомологии сферы
Чтобы вычислить гомологии k-мерной сферы, представим сферу <math>S^k</math> как объединение двух k-мерных дисков <math>A</math> и <math>B</math> с пересечением, гомотопически эквивалентным <math>(k-1)</math>-мерной экваториальной сфере <math>S^{k-1}</math>. Поскольку <math>A</math> и <math>B</math> стягиваемы, из последовательности Майера — Вьеториса следует точность последовательностей
- <math>0 \rightarrow H_{n}(S^k) \xrightarrow{\partial_*}\, H_{n-1}(S^{k-1}) \rightarrow 0 </math>
при <math>n\geqslant 1</math>. Точность сразу влечёт, что гомоморфизм ∂* является изоморфизмом при <math>n\geqslant 1</math>. Следовательно,
- <math>H_n(S^k)\cong\mathbb{Z}</math>, если <math>n=k,0</math>,
- иначе <math>H_n(S^k)\cong0</math>
Бутылка Клейна
Для вычисления гомологий бутылки Клейна представим её, как объединение двух лент Мебиуса <math>A</math> и <math>B</math>, склеенных вдоль их граничной окружности. Тогда <math>A</math>, <math>B</math> и их пересечение <math>A\cap B</math> гомотопически эквивалентны окружности. Нетривиальная часть последовательности дает
- <math> 0 \rightarrow H_{2}(X) \rightarrow\, \mathbb{Z}\ \xrightarrow{\alpha} \ \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \rightarrow \, H_1(X) \rightarrow 0 </math>
Тривиальная часть влечёт обнуление гомологий в размерностях 3 и выше. Заметим, что <math>\alpha(1)=(2,2)</math>, поскольку граничная окружность листа Мёбиуса оборачивается дважды вокруг его средней линии. В частности, <math>\alpha(1)</math> инъективен. Следовательно, <math>H_{2}(X)=0</math>. Выбирая базис (1, 0) и (1, 1) в <math>\mathbb{Z}^2</math>, получаем
- <math>{H}_1\left(X\right)\cong \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}_2</math>
Вариации и обобщения
- Редуцированные гомологии также удовлетворяют последовательности Майера — Вьеториса в предположении, что <math>A</math> и <math>B</math> имеют непустое пересечение. Эта последовательность идентична обычной, но заканчивается следующим образом:
- <math>\cdots\rightarrow\tilde{H}_0(A\cap B)\,\xrightarrow{(i_*,j_*)}\,\tilde{H}_0(A)\oplus\tilde{H}_0(B)\,\xrightarrow{k_* - l_*}\,\tilde{H}_0(X)\rightarrow\,0.</math>
- Для относительных гомологий последовательность выглядит следующим образом:
- <math>\cdots\rightarrow H_{n}(A\cap B,C\cap D)\,\xrightarrow{(i_*,j_*)}\,H_{n}(A,C)\oplus H_{n}(B,D)\,\xrightarrow{k_* - l_*}\,H_{n}(X,Y)\,\xrightarrow{\partial_*}\,H_{n-1}(A\cap B,C\cap D)\rightarrow\cdots</math>
См. также
