Русская Википедия:Постоянная Апери

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Вещественные константы Постоя́нная Апери́  (Шаблон:Lang-en, Шаблон:Lang-fr) — вещественное число, обозначаемое <math>\zeta(3)</math> (иногда <math>\zeta_3</math>), которое равно сумме обратных к кубам целых положительных чисел и, следовательно, является частным значением дзета-функции Римана:

<math>\zeta(3)=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^3}=\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} +\frac{1}{4^3} + \dots</math>.

Численное значение постоянной выражается бесконечной непериодической десятичной дробью[1][2]:

<math>\displaystyle\zeta(3) = </math> 1,202 056 903 159 594 285 399 738 161 511 449 990 764 986 292 340 498 881 792 271 555 3…

Названа в честь Роже Апери, доказавшего в 1978 году, что <math>\zeta(3)</math> является иррациональным числом (Шаблон:Нп5[3][4]). Изначальное доказательство носило сложный технический характер, позднее найден простой вариант доказательства с использованием многочленов Лежандра. Неизвестно, является ли постоянная Апери трансцендентным числом.

Эта постоянная давно привлекала интерес математиков — ещё в 1735 году Леонард Эйлер[5][6] вычислил её с точностью до 16 значащих цифр (1,202056903159594).

Приложения в математике и физике

Файл:Two loop diagram producing zeta3.png
Двухпетлевая диаграмма Фейнмана, результат для которой содержит <math>\zeta(3)</math>

В математике постоянная Апери встречается во многих приложениях. В частности, величина, обратная <math>\zeta(3)</math>, даёт вероятность того, что любые три случайным образом выбранных положительных целых числа будут взаимно просты — в том смысле, что при <math>N\to\infty</math> вероятность того, что три положительных целых числа, меньших, чем <math>{\textstyle{N}}</math> (и выбранных случайным образом) будут взаимно простыми, стремится к <math>1/\zeta(3)</math>.

Постоянная Апери естественным образом возникает в ряде проблем физики, включая поправки второго (и выше) порядков к аномальному магнитному моменту электрона в квантовой электродинамике. Например, результат для двухпетлевой диаграммы Фейнмана, изображённой на рисунке, даёт <math>6\zeta(3)</math> (здесь предполагается 4-мерное интегрирование по импульсам внутренних петель, содержащих только безмассовые виртуальные частицы, а также соответствующая нормировка, включая степень импульса внешней частицы <math>k</math>). Другой пример — двумерная модель Дебая.

Связь с другими функциями

Постоянная Апери связана с частным значением полигамма-функции второго порядка:

<math>\zeta(3) = -\tfrac{1}{2} \, \psi^{(2)}(1)</math>

и появляется в разложении гамма-функции в ряд Тейлора:

<math> \Gamma(1+\varepsilon)

= e^{-\gamma\varepsilon} \left[ 1 + \tfrac{1}{12}\pi^2 \varepsilon^2 - \tfrac{1}{3} \zeta(3) \varepsilon^3 +O(\varepsilon^4) \right]</math>, где в виде <math>e^{-\gamma\varepsilon}</math> факторизуются вклады, содержащие постоянную Эйлера — Маскерони <math>{\textstyle{\gamma}}</math>.

Постоянная Апери также связана со значениями трилогарифма <math>\mathrm{Li}_3(z)</math> (частный случай полилогарифма <math>\mathrm{Li}_n(z)</math>):

<math>\mathrm{Li}_3(1) = \zeta(3)</math>,
<math>\mathrm{Li}_3\left(\tfrac12\right) = \tfrac16 (\ln 2)^3 - \tfrac1{12} \pi^2 \ln 2 + \tfrac78 \,\zeta(3)</math>.

Представления в виде рядов

Некоторые другие ряды, члены которых обратны к кубам натуральных чисел, также выражаются через постоянную Апери:

<math>\zeta(3) = \tfrac{4}{3} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k^3}

= \tfrac{4}{3} \left( 1-\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} -\frac{1}{4^3} + \cdots \right)</math>,

<math>\zeta(3) = \tfrac{8}{7} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^3}

= \tfrac{8}{7} \left( 1+\frac{1}{3^3} + \frac{1}{5^3} +\frac{1}{7^3} + \cdots \right)</math>.

Другие известные результаты — сумма ряда, содержащего гармонические числа <math>{\textstyle{H_k}}</math>:

<math>\zeta(3) = \tfrac{1}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k^2}</math>,

а также двукратная сумма:

<math>\zeta(3) = \tfrac{1}{2} \sum_{j=1}^\infty \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{jk(j+k)} </math>.

Для доказательства иррациональности <math>\zeta(3)</math> Роже Апери[3] пользовался представлением:

<math>\zeta(3) = \tfrac{5}{2} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{(k!)^2}{k^3 (2k)!}

= \tfrac{5}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k^3 \binom{2k}{k}}</math>,

где <math>{\textstyle{\binom{2k}{k}}=\frac{(2k)!}{k!^2}}</math> — биномиальный коэффициент.

В 1773 году Леонард Эйлер[7] привёл представление в виде ряда[8] (которое впоследствии было несколько раз заново открыто в других работах):

<math>\zeta(3)=\tfrac{1}{7} \pi^2

\left[ 1-4\sum_{k=1}^\infty \frac {\zeta (2k)} {(2k+1)(2k+2) 2^{2k}} \right]</math>,

в котором значения дзета-функции Римана чётных аргументов могут быть представлены как <math>{\textstyle{\zeta(2k) = (-1)^{k+1} (2\pi)^{2k} B_{2k}/(2(2k)!)}}</math>, где <math>{\textstyle{B_{2k}}}</math> — числа Бернулли.

Рамануджан дал несколько представлений в виде рядов, которые замечательны тем, что они обеспечивают несколько новых значащих цифр на каждой итерации. Они включают в себя[9]:

<math>\zeta(3)=\tfrac{7}{180}\pi^3 -2

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} -1)}</math>

Шаблон:Нп5 получил ряды другого типа[10]

<math>\zeta(3)= 14

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 \sinh(\pi k)} -\tfrac{11}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} -1)} -\tfrac{7}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} +1)} \; , </math>

а также аналогичные представления для других постоянных <math>\zeta(2n+1)</math>.

Были также получены другие представления в виде рядов, включая:

<math>\zeta(3) = \tfrac{1}{4} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}

\frac{(56k^2-32k+5)(k-1)!^3}{(2k-1)^2(3k)!}</math>

<math>\zeta(3)=\tfrac{8}{7}-\tfrac{8}{7}\sum_{k=1}^\infty \frac{{\left( -1 \right) }^k\,2^{-5 + 12\,k}\,k\,
   \left( -3 + 9\,k + 148\,k^2 - 432\,k^3 - 2688\,k^4 + 7168\,k^5 \right) \,
   {k!}^3\,{\left( -1 + 2\,k \right) !}^6}{{\left( -1 + 2\,k \right) }^3\,
   \left( 3\,k \right) !\,{\left( 1 + 4\,k \right) !}^3}</math>
<math>\zeta(3) = \tfrac{1}{64} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{(205k^2 + 250k + 77)\cdot k!^{10}}{(2k+1)!^5}</math>
<math>\zeta(3) = \tfrac{1}{24} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{((2k+1)!(2k)!k!)^3 (126392k^5 + 412708k^4 + 531578k^3 + 336367k^2 + 104000k + 12463)}{(3k+2)!\cdot (4k+3)!^3}</math>

Некоторые из этих представлений были использованы для вычисления постоянной Апери со многими миллионами значащих цифр.

В 1998 году получено представление в виде ряда[11], которое даёт возможность вычислить произвольный бит постоянной Апери.

Представления в виде интегралов

Существует также большое количество различных интегральных представлений для постоянной Апери, начиная от тривиальных формул типа

<math>

\zeta(3) =\frac{1}{2}\int\limits_0^\infty \! \frac{x^2}{e^x-1}\, dx =\frac{2}{3}\int\limits_0^\infty \! \frac{x^2}{e^x+1}\, dx </math> или

<math>\zeta(3) =\int\limits_0^1 \! \frac{\ln(x)\ln(1-x)}{x}\, dx </math>

следующих из простейших интегральных определений дзета-функции Римана[12], до достаточно сложных, таких, как

<math>

\zeta(3)=\pi\!\!\int\limits_{0}^{\infty} \! \frac{\cos(2\,\mathrm{arctg}\,x)}{\left(x^2+1\right)\big[\mathrm{ch}\big(\frac{1}{2}\pi x\big)\big]^2}\, dx\qquad </math> (Иоган Йенсен[13]),

<math>

\zeta(3) =-\frac{1}{2}\int\limits_0^1 \!\!\int\limits_0^1 \frac{\ln(xy)}{\,1-xy\,}\, dx \, dy\qquad </math> (Шаблон:Нп5[14]),

<math>

\zeta(3) =\,\frac{8\pi^2}{7}\!\!\int\limits_0^1 \! \frac{x\left(x^4-4x^2+1\right)\ln\ln\frac{1}{x}}{\,(1+x^2)^4\,}\, dx \qquad </math> (Ярослав Благушин[15]).

Цепные дроби

Цепная дробь для константы Апери (Шаблон:OEIS) выглядит следующим образом:

<math>\zeta(3) = [1; 4, 1, 18, 1, 1, 1, 4, 1, 9, 9, 2, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 1, 7, 11, 1, 1, 1,\cdots] =</math>
<math>= 1+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{18+\cfrac{1}{1+\ldots}}}}\;</math>

Первую обобщённую цепную дробь для константы Апери, имеющую закономерность, открыли независимо Стилтьес и Рамануджан:

<math>\zeta(3) = 1 + \cfrac{1}{4+\cfrac{1^3}{1+\cfrac{1^3}{12+\cfrac{2^3}{1 + \cfrac{2^3}{20+\cfrac{3^3}{1+\cfrac{3^3}{28+\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{n^3}{1+\cfrac{n^3}{4(2n+1)+\dots}}}}}}}}}} </math>

Она может быть преобразована к виду:

<math>\zeta(3) = 1 + \cfrac{1}{5-\cfrac{1^6}{21-\cfrac{2^6}{55-\cfrac{3^6}{119-\cfrac{4^6}{225-\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{n^6}{(2n^3+3n^2+11n+5)+\dots}}}}}}} </math>

Апери смог ускорить сходимость цепной дроби для константы:

<math>\zeta(3) = \frac{6}{5}-\cfrac{1^6}{117 - \cfrac{2^6}{535-\cfrac{3^6}{1436-\cfrac{4^6}{3105-\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{n^6}{(34n^3+51n^2+27n+5)+\dots}}}}}} </math>[16][17]

Вычисление десятичных цифр

Число известных значащих цифр постоянной Апери <math>\zeta(3)</math> значительно выросло за последние десятилетия благодаря как увеличению компьютерных мощностей, так и улучшению алгоритмов[18].

Число известных значащих цифр постоянной Апери <math>\zeta(3)</math>
Дата Количество значащих цифр Авторы вычисления
1735 16 Леонард Эйлер[5][6]
1887 32 Томас Иоаннес Стилтьес
1996 Шаблон:Nts Greg J. Fee & Simon Plouffe
1997 Шаблон:Nts Bruno Haible & Thomas Papanikolaou
1997, май Шаблон:Nts Patrick Demichel
1998, февраль Шаблон:Nts Sebastian Wedeniwski
1998, март Шаблон:Nts Sebastian Wedeniwski
1998, июль Шаблон:Nts Sebastian Wedeniwski
1998, декабрь Шаблон:Nts Sebastian Wedeniwski[19]
2001, сентябрь Шаблон:Nts Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2002, февраль Шаблон:Nts Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2003, февраль Шаблон:Nts Patrick Demichel & Xavier Gourdon
2006, апрель Шаблон:Nts Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[20]
2009, январь Шаблон:Nts Alexander J. Yee & Raymond Chan[21]
2009, март Шаблон:Nts Alexander J. Yee & Raymond Chan[21]
2010, сентябрь Шаблон:Nts Alexander J. Yee[22]
2013, сентябрь Шаблон:Nts Robert J. Setti[22]
2015, август Шаблон:Nts Ron Watkins[22]
2015, декабрь Шаблон:Nts Dipanjan Nag[22]
2017, август Шаблон:Nts Ron Watkins[22]
2019, май Шаблон:Nts Ian Cutress[22]
2020, июль Шаблон:Nts Seungmin Kim[23]

Другие значения дзета-функции в нечётных точках

Существует много исследований, посвящённых другим значениям дзета-функции Римана в нечётных точках <math>\zeta(2n+1)</math> при <math>n>1</math>. В частности, в работах Шаблон:Нп5 и Тангая Ривоаля показано, что иррациональными является бесконечное множество чисел <math>\zeta(2n+1)</math>[24], а также что по крайней мере одно из чисел <math>\zeta(5)</math>, <math>\zeta(7)</math>, <math>\zeta(9)</math>, или <math>\zeta(11)</math> является иррациональным[25].

Примечания

Шаблон:Примечания

Ссылки

Шаблон:Числа с собственными именами Шаблон:Иррациональные числа

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
  2. ↑ Шаблон:OEIS
  3. ↑ 3,0 3,1 Шаблон:Citation
  4. ↑ Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
  5. ↑ 5,0 5,1 Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
  6. ↑ 6,0 6,1 Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
  7. ↑ Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
  8. ↑ Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
  9. ↑ Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
  10. ↑ Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
  11. ↑ Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
  12. ↑ Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления (7-ое изд.), с. 769. Наука, Москва, 1969
  13. ↑ Johan Ludwig William Valdemar Jensen. Note numéro 245. Deuxième réponse. Remarques relatives aux réponses du MM. Franel et Kluyver. L’Intermédiaire des mathématiciens, tome II, pp. 346—347, 1895.
  14. ↑ F. Beukers A Note on the Irrationality of ζ(2) and ζ(3). Bull. London Math. Soc. 11, pp. 268—272, 1979.
  15. ↑ Iaroslav V. Blagouchine Rediscovery of Malmsten’s integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results. The Ramanujan Journal, vol. 35, no. 1, pp. 21-110, 2014. Шаблон:Wayback PDF Шаблон:Wayback
  16. ↑ Шаблон:Cite web
  17. ↑ Шаблон:Citation
  18. ↑ Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
  19. ↑ Шаблон:Citation
  20. ↑ Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
  21. ↑ 21,0 21,1 Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
  22. ↑ 22,0 22,1 22,2 22,3 22,4 22,5 Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
  23. ↑ Шаблон:Cite web
  24. ↑ Шаблон:Citation
  25. ↑ Шаблон:Статья
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Постоянная_Апери&oldid=10630705