Русская Википедия:Постоянная Гаусса (математика)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Постоя́нная Га́усса (обозначение — Шаблон:Math) — математическая константа, которая определяется как величина, обратная среднему арифметико-геометрическому от единицы и квадратного корня из 2:

<math>G = \frac{1}{\operatorname{agm}\left(1, \sqrt{2}\right)} = 0{,}8346268\dots.</math>(Шаблон:OEIS)

Константа названа в честь Карла Фридриха Гаусса, который в 1799 году обнаружил, что

<math>G = \frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1 - x^4}}</math>

чтобы

<math>G = \frac{1}{2\pi}\Beta\left( \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{2}\right)</math>

где Β обозначает бета-функцию.

Связь с другими константами

Постоянная Гаусса может использоваться для выражения гамма-функции при аргументе <math>\frac{1}{4}</math>:

<math>\Gamma\left( \tfrac{1}{4}\right) = \sqrt{ 2G \sqrt{ 2\pi^3 } }</math>

В качестве альтернативы,

<math>G = \frac{\left[\Gamma\left( \tfrac{1}{4}\right)\right]^2}{2\sqrt{ 2\pi^3}}</math>

а поскольку <math>\pi</math> и <math>\Gamma\left( \tfrac{1}{4}\right)</math> алгебраически независимы, постоянная Гаусса трансцендентна.

Константы лемнискаты

Константу Гаусса можно использовать при определении констант лемнискаты.

Гаусс и другие используют эквивалент

<math>\varpi = \pi G</math>

которая является константой лемнискаты, известной в теории лемнискатических функций.

Однако Джон Тодд использует другую терминологию — в своей статье числа <math>A</math> и <math>B</math> называются константами лемнискаты, первая из которых

<math>A = \frac{\pi G}{2} = \frac{\varpi}{2} = \frac{1}{4} \Beta \left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)</math>

и вторая константа:

<math>B = \frac{1}{2G} =\frac{1}{4}\Beta \left(\frac{1}{2},\frac{3}{4}\right).</math>

Они возникают при нахождении длины дуги лемнискаты. <math>A</math> и <math>B</math> Теодор Шнайдер доказал их трансцендентность в 1937 и 1941 годах соответственно.

Другие формулы

Формула, выражающая Шаблон:Math через тета-функции Якоби, выглядит следующим образом:

<math>G = \vartheta_{01}^2\left(e^{-\pi}\right)</math>

Также существуют представление в виде ряда с быстрой сходимостью, например следующий:

<math>G = \sqrt[4]{32}e^{-\frac{\pi}{3}}\left (\sum_{n = -\infty}^\infty (-1)^n e^{-2n\pi(3n+1)} \right )^2.</math>

Константу также можно выразить бесконечным произведением

<math>G = \prod_{m = 1}^\infty \tanh^2 \left( \frac{\pi m}{2}\right).</math>

Эта константа появляется при оценке интегралов

<math>{\frac{1}{G}} = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\sin(x)}\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\cos(x)}\,dx</math>

<math>G = \int_0^{\infty}{\frac{dx}{\sqrt{\cosh(\pi x)}}}</math>

Представление константы в виде непрерывной дроби:

<math>G = [0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 15, 1, 3, 8, 36, 1, 2, 5, 2, 1, 1, 2, 2, 6, 9, 1, 1, 1, 3, 1, \dots].</math>(Шаблон:OEIS)

Источники

• Шаблон:MathWorld