Русская Википедия:Постоянная Гельфонда

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Постоянная Гельфонда — трансцендентное число <math>e^\pi</math> (то есть e в степени [[Пи (число)|Шаблон:Math]]). Названа в честь Александра Осиповича Гельфонда. Доказательство трансцендентности этого числа — один из пунктов седьмой проблемы Гильберта.

Численное значение

Десятичное представление постоянной Гельфонда:

<math>e^\pi \approx 23{,}140\,692\,632\,779\,269\,005\,729\,086\,367\,948\,547\ldots</math>

Его приближённые значения можно получать, используя рекуррентно определённую последовательность

<math>k_n=\frac{1-\sqrt{1-k_{n-1}^2}}{1+\sqrt{1-k_{n-1}^2}},</math> где <math> k_0 = \frac{1}{\sqrt{2}},</math>

а именно следующее выражение:

<math>e^\pi \approx \left(\frac{1}{4} k_n\right)^{-2^{1-n}}.</math>

При этом сходимость таких приближений к <math>e^{\pi}</math> достаточно быстрая.

Численное значение постоянной также представимо в виде простой непрерывной дроби: [23; 7, 9, 3, 1, 1, 591, 2, 9, 1, 2, 34, …].

Свойства

• <math>(e^\pi)^i = -1</math>

• <math>e^\pi=(e^{i\pi})^{-i}=(-1)^{-i}</math>

• <math>e^\pi-\pi = 19,9990999791894...</math>

• Каждая дополнительная орбита серий отражений фотонной сферы вокруг невращающейся чëрной дыры Шварцшильда определяется множителем <math>e^{2\pi} = 535.4916555247...</math> (квадрат постоянной Гельфонда).

См. также

• Постоянная Гельфонда — Шнайдера <math>(2^\sqrt{2})</math>

Литература

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:PlanetMath
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга