Русская Википедия:Постоянная Гельфонда — Шнайдера

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Постоянная Гельфонда — Шнайдера (обозначение: <math>\mathcal{G}_{GS}</math>) — трансцендентное число, два в степени квадратный корень из двух:<math>2^\sqrt{2}=2{,}6651441426902251886502972498731\ldots</math>

Трансцендентность этого числа была доказана Р. О. Кузьминым в 1930 году. В 1934 году Александр Гельфонд и Теодор Шнайдер независимо друг от друга доказали более общую теорему Гельфонда — Шнайдера, которая решила часть седьмой проблемы Гильберта, описанную ниже.

Свойства

Квадратный корень из постоянной Гельфонда — Шнайдера является трансцендентным числом:

<math>\sqrt{2^\sqrt{2}}=\sqrt{2}^\sqrt{2}=1{,}6325269...</math>

Это же число может быть использовано для доказательства того, что иррациональное число в степени иррационального числа может быть рациональным, без предварительного доказательства его трансцендентности. Доказательство происходит следующим образом. Если число <math>\sqrt{2}^\sqrt{2}</math> рационально, то это является доказательством теоремы. В противном случае:

<math>\bigl(\sqrt{2}^\sqrt{2}\bigr)^\sqrt{2}=\sqrt{2}^{(\sqrt{2}\sqrt{2})}=\sqrt{2}^2=2</math>,

что является рациональным числом, а значит, доказывает теорему. Данное доказательство неконструктивно, так как не говорит, какой случай верный, но оно гораздо проще, чем доказательство Р. О. Кузьмина.

Седьмая проблема Гильберта

Шаблон:MainСедьмая из двадцати трёх проблем Гильберта, поставленных в 1900 году, заключалась в том, чтобы доказать или найти контрпример утверждения, что <math>a^b</math> всегда трансцендентно для алгебраических <math>a \neq 1, 0</math> и иррациональных алгебраических <math>b</math>. В своём обращении Гильберт привёл два ярких примера, один из которых — постоянная Гельфонда — Шнайдера.

См. также

• Постоянная Гельфонда