Русская Википедия:Постоянная Глейшера — Кинкелина

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Постоя́нная Глейшера — Кинкелина (Шаблон:Lang-en) в математике — это вещественное число, обозначаемое A, которое связано с K-функцией и G-функцией Барнса, а также может быть выражено через значение производной дзета-функции Римана <math>\zeta'(-1)</math>,

<math> A = \exp\left(\tfrac{1}{12} - \zeta'(-1)\right) </math>.

Эта постоянная возникает в различных суммах и интегралах — в особенности в тех, где присутствует гамма-функция или дзета-функция Римана.

Численное значение постоянной Глейшера — Кинкелина выражается бесконечной десятичной дробью[1][2]:

A = 1,282 427 129 100 622 636 875 342 568 869 791 727 767 688 927 … (Шаблон:OEIS)

Она была названа в честь английского математика Джеймса Уитбреда Ли Глейшера (James Whitbread Lee Glaisher, 1848—1928) и швейцарского математика Германа Кинкелина (Hermann Kinkelin, 1832—1913), которые рассматривали её в своих работах[3][4].

Представления через K-функцию и G-функцию Барнса

Для целых положительных значений аргумента K-функция может быть представлена как

<math>K(n)=\prod_{k=1}^{n-1} k^k</math>

Она связана с G-функцией Барнса, которая для целых положительных значений аргумента может быть представлена как

<math>G(n)=\prod_{k=1}^{n-2}k!=\frac{\left[\Gamma(n)\right]^{n-1}}{K(n)}</math>

где <math>\Gamma(n)</math> — гамма-функция, <math>\Gamma(n)=(n-1)!</math>.

Постоянная Глейшера — Кинкелина A может быть определена как предел[5]

<math>A=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{K(n+1)}{n^{n^2/2+n/2+1/12} e^{-n^2/4}}</math>

или, соответственно,

<math>A=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{(2\pi)^{n/2} n^{n^2/2-1/12} e^{-3n^2/4+1/12}}{G(n+1)}</math>.

Также известно, что[6]

<math>G\left(\tfrac{1}{2}\right) = 2^{1/24} \pi^{-1/4} e^{1/8} A^{-3/2}</math>.

Связь с дзета-функцией Римана

Постоянная Глейшера — Кинкелина A связана с производной дзета-функции Римана при некоторых целых значениях аргумента[5][7], в частности,

<math>\zeta^{\prime}(-1)=\tfrac{1}{12}-\ln A</math>
<math>\zeta^{\prime}(2) = - \sum_{k=2}^\infty \frac{\ln k}{k^2}

= \frac{\pi^2}{6}\left[\gamma+\ln(2\pi)-12\ln A \right]</math>

где <math>\gamma</math> — постоянная Эйлера—Маскерони.

Некоторые интегралы и суммы

Постоянная Глейшера — Кинкелина появляется в некоторых определённых интегралах и бесконечных суммах[5],

<math>\int_0^{1/2} \ln\Gamma(x)\; {\rm d}x= \tfrac{3}{2} \ln{A} + \tfrac{5}{24} \ln{2} + \tfrac{1}{4} \ln{\pi}</math>,
<math>\int_0^\infty \frac{x \ln x}{e^{2 \pi x}-1}\; {\rm d}x= \tfrac{1}{2} \zeta^{\prime}(-1)= \tfrac{1}{24}-\tfrac{1}{2}\ln{A}</math>,
<math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\ln(2k+1)}{(2k+1)^2} =

\pi^2 \left( \tfrac{3}{2} \ln{A} - \tfrac{1}{6} \ln{2} - \tfrac{1}{8} \ln{\pi} - \tfrac{1}{8} \gamma \right)</math>.

Также эта постоянная может быть представлена в виде суммы[8][9], которая следует из представления для дзета-функции Римана, полученного Гельмутом Хассе,

<math>\ln{A}=\tfrac{1}{8}-\tfrac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n \left(-1\right)^k \binom{n}{k} \left(k+1\right)^2 \ln(k+1)</math>,

где <math>{\textstyle{\binom{n}{k}}=\frac{n!}{k!(n-k)!}}</math> — биномиальный коэффициент.

Примечания

Шаблон:Примечания

Ссылки

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Cite web
  2. ↑ Шаблон:Cite web
  3. ↑ Hermann Kinkelin, Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung Шаблон:Wayback, Journal für die reine und angewandte Mathematik 57, 1860, S. 122–138
  4. ↑ J. W. L. Glaisher, On the Product 1¹.2².3³...nⁿ, The Messenger of Mathematics 7, 1878, p. 43–47
  5. ↑ 5,0 5,1 5,2 Шаблон:Mathworld
  6. ↑ Шаблон:Статья
  7. ↑ Шаблон:Mathworld
  8. ↑ Шаблон:Cite arxiv
  9. ↑ Шаблон:Статья
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Постоянная_Глейшера_—_Кинкелина&oldid=10630714