Русская Википедия:Постоянная Каталана
Постоя́нная Катала́на — число, встречающееся в различных приложениях математики — в частности, в комбинаторике. Чаще всего обозначается буквой G, реже — K или C. Она может быть определена как сумма бесконечного знакочередующегося ряда:
- <math>G = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \dots</math>
Её численное значение приблизительно равно[1]:
- G = 0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 … (Шаблон:OEIS)
Неизвестно, является ли G рациональным или иррациональным числом.
Постоянная Каталана была названа в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана (Шаблон:Lang-fr).
Связь с другими функциями
Постоянная Каталана является частным случаем бета-функции Дирихле:
- <math>G = \beta(2).</math>
Она также соответствует частному значению Шаблон:Нп5, которая связана с мнимой частью дилогарифма
- <math>G = \operatorname{Cl}_2(\pi/2) = \operatorname{Im}\left(\operatorname{Li}_2(e^{i\pi/2})\right) = \operatorname{Im}\big( \operatorname{Li}_2(i) \big).</math>
Кроме этого, она связана со значениями тригамма-функции (частный случай полигамма-функции) дробных аргументов
- <math>\psi_1\left(\tfrac14\right) = \pi^2 + 8G,</math>
- <math>\psi_1\left(\tfrac34\right) = \pi^2 - 8G,</math>
так что
- <math>G = \tfrac{1}{16} \left[\psi_1\left(\tfrac14\right) - \psi_1\left(\tfrac34\right)\right].</math>
Шаблон:Нп5 нашёл бесконечное множество тождеств между тригамма-функцией <math>\psi_1</math>, <math>\pi^2</math> и постоянной Каталана G.
Постоянная Каталана также может быть выражена через частные значения G-функции Барнса и гамма-функции:
- <math>G = 4\pi \ln\left( \frac{G(\tfrac{3}{8}) G(\tfrac{7}{8})}{G(\tfrac{1}{8}) G(\tfrac{5}{8})} \right) + 4 \pi \ln \left( \frac{\Gamma(\tfrac{3}{8})}{\Gamma(\tfrac{1}{8})} \right) + \frac{\pi}{2} \ln \left( \frac{1 + \sqrt{2}}{2(2 - \sqrt{2})} \right).</math>
Интегральные представления
Ниже приведены некоторые интегральные представления постоянной Каталана G через интегралы от элементарных функций:
- <math>G = -\int_{0}^{1} \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt,</math>
- <math>G = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1 + x^2 y^2} \,dx\, dy,</math>
- <math>G = \tfrac12 \int_{0}^{\pi/2} \frac{t}{\sin t} \,dt,</math>
- <math>G = \int_0^1 \frac{\arctan x}{x} \,dx,</math>
- <math>G = \frac12 \int_0^\infty \frac{x}{\cosh x} \,dx.</math>
Она также может быть представлена через интеграл от полного эллиптического интеграла первого рода K(x):
- <math>G = \frac12 \int_0^1 \mathrm{K}(x)\,dx.</math>
Быстро сходящиеся ряды
Следующие формулы содержат быстро сходящиеся ряды, и их удобно использовать для численных вычислений:
- <math>G = \frac{\pi}{8} \ln(\sqrt{3} + 2) + \frac{3}{8} \sum_{n=0}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!(2n+1)^2}</math>
и
<math>G =</math> <math>3 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{4n}} \left( -\frac{1}{2(8n+2)^2} +\frac{1}{2^2(8n+3)^2} -\frac{1}{2^3(8n+5)^2} +\frac{1}{2^3(8n+6)^2} -\frac{1}{2^4(8n+7)^2} +\frac{1}{2(8n+1)^2} \right) - {}</math>
<math> {} - 2 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{12n}} \left( \frac{1}{2^4(8n+2)^2} +\frac{1}{2^6(8n+3)^2} -\frac{1}{2^9(8n+5)^2} -\frac{1}{2^{10} (8n+6)^2} -\frac{1}{2^{12} (8n+7)^2} +\frac{1}{2^3(8n+1)^2} \right).</math>
Теоретическое обоснование использования рядов такого типа было дано Сринивасой Рамануджаном (Srīnivāsa Rāmānujan Iyengar) для первой формулы[2] и Дэвидом Бродхёрстом (David J. Broadhurst) для второй формулы[3]. Алгоритмы быстрого вычисления постоянной Каталана были построены Е. А. Карацубой[4][5].
Цепные дроби
Цепная дробь константы Каталана (Шаблон:OEIS) выглядит следующим образом:
- <math>G = [0; 1, 10, 1, 8, 1, 88, 4, 1, 1, 7, 22, 1, 2, 3, 26, 1, 11, 1, 10, 1, 9, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots] =</math>
- <math>= 0+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{10+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{8+\ldots}}}}\;</math>
Известны следующие обобщённые цепные дроби для константы Каталана:
- <math>2G = 2 - \cfrac{1}{3+\cfrac{2^2}{1+\cfrac{2^2}{3+\cfrac{4^2}{1 + \cfrac{4^2}{3+\cfrac{6^2}{1+\cfrac{6^2}{3+\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{4n^2}{1+\cfrac{4n^2}{3+\dots}}}}}}}}}} </math>
- <math>2G = 1+\cfrac{1}{\cfrac{1}{2} + \cfrac{1^2}{\cfrac{1}{2}+\cfrac{1\cdot2}{\cfrac{1}{2}+\cfrac{2^2}{\cfrac{1}{2}+\cfrac{2\cdot3}{\cfrac{1}{2}+\cfrac{3^2}{\cfrac{1}{2}+\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{n^2}{\cfrac{1}{2}+\cfrac{n\cdot (n+1)}{\cfrac{1}{2}+\dots}}}}}}}}} </math> [6]
Вычисление десятичных цифр
Число известных значащих цифр постоянной Каталана G значительно выросло за последние десятилетия, благодаря как увеличению компьютерных мощностей, так и улучшению алгоритмов[7].
Дата | Количество значащих цифр | Авторы вычисления |
---|---|---|
1865 | 14 | Эжен Шарль Каталан |
1877 | 20 | Джеймс Уитбред Ли Глейшер |
1913 | 32 | Джеймс Уитбред Ли Глейшер |
1990 | Шаблон:Nts | Greg J. Fee |
1996 | Шаблон:Nts | Greg J. Fee |
1996, 14 августа | Шаблон:Nts | Greg J. Fee и Шаблон:Нп5 |
1996, 29 сентября | Шаблон:Nts | Thomas Papanikolaou |
1996 | Шаблон:Nts | Thomas Papanikolaou |
1997 | Шаблон:Nts | Patrick Demichel |
1998, 4 января | Шаблон:Nts | Xavier Gourdon |
2001 | Шаблон:Nts | Xavier Gourdon & Pascal Sebah |
2002 | Шаблон:Nts | Xavier Gourdon & Pascal Sebah |
2006, октябрь | Шаблон:Nts | Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[8] |
2008, август | Шаблон:Nts | Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[9] |
2009, 31 января | Шаблон:Nts | Alexander J. Yee & Raymond Chan[10] |
2009, 16 апреля | Шаблон:Nts | Alexander J. Yee & Raymond Chan[10] |
См. также
Примечания
Ссылки
- Victor Adamchik, 33 representations for Catalan’s constant
- Шаблон:Статья
- Simon Plouffe, A few identities (III) with Catalan Шаблон:Wayback, (1993)
- Simon Plouffe, A few identities with Catalan constant and Pi² Шаблон:Wayback, (1999)
- Шаблон:MathWorld
- Catalan constant: Generalized power series на сайте Wolfram Functions
- Greg Fee, Catalan’s Constant (Ramanujan’s Formula) (1996)
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Cite arxiv
Шаблон:Числа с собственными именами
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ B. C. Berndt, Ramanujan’s Notebook, Part I, Springer Verlag (1985).
- ↑ D. J. Broadhurst, «Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5) Шаблон:Wayback», (1998) arXiv math.CA/9803067.
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ E. A. Karatsuba, Fast computation of some special integrals of mathematical physics. Scientific Computing, Validated Numerics, Interval Methods, W. Krämer, J. W. von Gudenberg, eds.; pp. 29—41 (2001).
- ↑ Steven R. Finch Mathematical Constants 1.6.6
- ↑ X. Gourdon, P. Sebah, Constants and Records of Computation Шаблон:Wayback
- ↑ Shigeru Kondo’s website Шаблон:Webarchive
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ 10,0 10,1 Шаблон:Cite web