Русская Википедия:Постоянная Каталана

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Постоя́нная Катала́на — число, встречающееся в различных приложениях математики — в частности, в комбинаторике. Чаще всего обозначается буквой G, реже — K или C. Она может быть определена как сумма бесконечного знакочередующегося ряда:

<math>G = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \dots</math>

Её численное значение приблизительно равно:

G = 0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 … (Шаблон:OEIS)

Неизвестно, является ли G рациональным или иррациональным числом.

Постоянная Каталана была названа в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана (Шаблон:Lang-fr).

Связь с другими функциями

Постоянная Каталана является частным случаем бета-функции Дирихле:

<math>G = \beta(2).</math>

Она также соответствует частному значению Шаблон:Нп5, которая связана с мнимой частью дилогарифма

<math>G = \operatorname{Cl}_2(\pi/2) = \operatorname{Im}\left(\operatorname{Li}_2(e^{i\pi/2})\right) = \operatorname{Im}\big( \operatorname{Li}_2(i) \big).</math>

Кроме этого, она связана со значениями тригамма-функции (частный случай полигамма-функции) дробных аргументов

<math>\psi_1\left(\tfrac14\right) = \pi^2 + 8G,</math>

<math>\psi_1\left(\tfrac34\right) = \pi^2 - 8G,</math>

так что

<math>G = \tfrac{1}{16} \left[\psi_1\left(\tfrac14\right) - \psi_1\left(\tfrac34\right)\right].</math>

Шаблон:Нп5 нашёл бесконечное множество тождеств между тригамма-функцией <math>\psi_1</math>, <math>\pi^2</math> и постоянной Каталана G.

Постоянная Каталана также может быть выражена через частные значения G-функции Барнса и гамма-функции:

<math>G = 4\pi \ln\left( \frac{G(\tfrac{3}{8}) G(\tfrac{7}{8})}{G(\tfrac{1}{8}) G(\tfrac{5}{8})} \right) + 4 \pi \ln \left( \frac{\Gamma(\tfrac{3}{8})}{\Gamma(\tfrac{1}{8})} \right) + \frac{\pi}{2} \ln \left( \frac{1 + \sqrt{2}}{2(2 - \sqrt{2})} \right).</math>

Интегральные представления

Ниже приведены некоторые интегральные представления постоянной Каталана G через интегралы от элементарных функций:

<math>G = -\int_{0}^{1} \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt,</math>

<math>G = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1 + x^2 y^2} \,dx\, dy,</math>

<math>G = \tfrac12 \int_{0}^{\pi/2} \frac{t}{\sin t} \,dt,</math>

<math>G = \int_0^1 \frac{\arctan x}{x} \,dx,</math>

<math>G = \frac12 \int_0^\infty \frac{x}{\cosh x} \,dx.</math>

Она также может быть представлена через интеграл от полного эллиптического интеграла первого рода K(x):

<math>G = \frac12 \int_0^1 \mathrm{K}(x)\,dx.</math>

Быстро сходящиеся ряды

Следующие формулы содержат быстро сходящиеся ряды, и их удобно использовать для численных вычислений:

<math>G = \frac{\pi}{8} \ln(\sqrt{3} + 2) + \frac{3}{8} \sum_{n=0}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!(2n+1)^2}</math>

и

<math>G =</math>	<math>3 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{4n}} \left( -\frac{1}{2(8n+2)^2} +\frac{1}{2^2(8n+3)^2} -\frac{1}{2^3(8n+5)^2} +\frac{1}{2^3(8n+6)^2} -\frac{1}{2^4(8n+7)^2} +\frac{1}{2(8n+1)^2} \right) - {}</math>
	<math> {} - 2 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{12n}} \left( \frac{1}{2^4(8n+2)^2} +\frac{1}{2^6(8n+3)^2} -\frac{1}{2^9(8n+5)^2} -\frac{1}{2^{10} (8n+6)^2} -\frac{1}{2^{12} (8n+7)^2} +\frac{1}{2^3(8n+1)^2} \right).</math>

Теоретическое обоснование использования рядов такого типа было дано Сринивасой Рамануджаном (Srīnivāsa Rāmānujan Iyengar) для первой формулы и Дэвидом Бродхёрстом (David J. Broadhurst) для второй формулы. Алгоритмы быстрого вычисления постоянной Каталана были построены Е. А. Карацубой.

Цепные дроби

Цепная дробь константы Каталана (Шаблон:OEIS) выглядит следующим образом:

<math>G = [0; 1, 10, 1, 8, 1, 88, 4, 1, 1, 7, 22, 1, 2, 3, 26, 1, 11, 1, 10, 1, 9, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots] =</math>

<math>= 0+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{10+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{8+\ldots}}}}\;</math>

Известны следующие обобщённые цепные дроби для константы Каталана:

<math>2G = 2 - \cfrac{1}{3+\cfrac{2^2}{1+\cfrac{2^2}{3+\cfrac{4^2}{1 + \cfrac{4^2}{3+\cfrac{6^2}{1+\cfrac{6^2}{3+\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{4n^2}{1+\cfrac{4n^2}{3+\dots}}}}}}}}}} </math>

<math>2G = 1+\cfrac{1}{\cfrac{1}{2} + \cfrac{1^2}{\cfrac{1}{2}+\cfrac{1\cdot2}{\cfrac{1}{2}+\cfrac{2^2}{\cfrac{1}{2}+\cfrac{2\cdot3}{\cfrac{1}{2}+\cfrac{3^2}{\cfrac{1}{2}+\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{n^2}{\cfrac{1}{2}+\cfrac{n\cdot (n+1)}{\cfrac{1}{2}+\dots}}}}}}}}} </math>

Вычисление десятичных цифр

Число известных значащих цифр постоянной Каталана G значительно выросло за последние десятилетия, благодаря как увеличению компьютерных мощностей, так и улучшению алгоритмов.

Число известных значащих цифр постоянной Каталана G

Дата	Количество значащих цифр	Авторы вычисления
1865	14	Эжен Шарль Каталан
1877	20	Джеймс Уитбред Ли Глейшер
1913	32	Джеймс Уитбред Ли Глейшер
1990	Шаблон:Nts	Greg J. Fee
1996	Шаблон:Nts	Greg J. Fee
1996, 14 августа	Шаблон:Nts	Greg J. Fee и Шаблон:Нп5
1996, 29 сентября	Шаблон:Nts	Thomas Papanikolaou
1996	Шаблон:Nts	Thomas Papanikolaou
1997	Шаблон:Nts	Patrick Demichel
1998, 4 января	Шаблон:Nts	Xavier Gourdon
2001	Шаблон:Nts	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2002	Шаблон:Nts	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2006, октябрь	Шаблон:Nts	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
2008, август	Шаблон:Nts	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
2009, 31 января	Шаблон:Nts	Alexander J. Yee & Raymond Chan
2009, 16 апреля	Шаблон:Nts	Alexander J. Yee & Raymond Chan

См. также

• Дзета-функция Римана
• Бета-функция Дирихле

Ссылки

• Victor Adamchik, 33 representations for Catalan’s constant
• Шаблон:Статья
• Simon Plouffe, A few identities (III) with Catalan Шаблон:Wayback, (1993)
• Simon Plouffe, A few identities with Catalan constant and Pi² Шаблон:Wayback, (1999)
• Шаблон:MathWorld
• Catalan constant: Generalized power series на сайте Wolfram Functions
• Greg Fee, Catalan’s Constant (Ramanujan’s Formula) (1996)
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Cite arxiv