Русская Википедия:Постоянная Каталана

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Постоя́нная Катала́на — число, встречающееся в различных приложениях математики — в частности, в комбинаторике. Чаще всего обозначается буквой G, реже — K или C. Она может быть определена как сумма бесконечного знакочередующегося ряда:

<math>G = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \dots</math>

Её численное значение приблизительно равно[1]:

G = 0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 … (Шаблон:OEIS)

Неизвестно, является ли G рациональным или иррациональным числом.

Постоянная Каталана была названа в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана (Шаблон:Lang-fr).

Связь с другими функциями

Постоянная Каталана является частным случаем бета-функции Дирихле:

<math>G = \beta(2).</math>

Она также соответствует частному значению Шаблон:Нп5, которая связана с мнимой частью дилогарифма

<math>G = \operatorname{Cl}_2(\pi/2) = \operatorname{Im}\left(\operatorname{Li}_2(e^{i\pi/2})\right) = \operatorname{Im}\big( \operatorname{Li}_2(i) \big).</math>

Кроме этого, она связана со значениями тригамма-функции (частный случай полигамма-функции) дробных аргументов

<math>\psi_1\left(\tfrac14\right) = \pi^2 + 8G,</math>
<math>\psi_1\left(\tfrac34\right) = \pi^2 - 8G,</math>

так что

<math>G = \tfrac{1}{16} \left[\psi_1\left(\tfrac14\right) - \psi_1\left(\tfrac34\right)\right].</math>

Шаблон:Нп5 нашёл бесконечное множество тождеств между тригамма-функцией <math>\psi_1</math>, <math>\pi^2</math> и постоянной Каталана G.

Постоянная Каталана также может быть выражена через частные значения G-функции Барнса и гамма-функции:

<math>G = 4\pi \ln\left( \frac{G(\tfrac{3}{8}) G(\tfrac{7}{8})}{G(\tfrac{1}{8}) G(\tfrac{5}{8})} \right) + 4 \pi \ln \left( \frac{\Gamma(\tfrac{3}{8})}{\Gamma(\tfrac{1}{8})} \right) + \frac{\pi}{2} \ln \left( \frac{1 + \sqrt{2}}{2(2 - \sqrt{2})} \right).</math>

Интегральные представления

Ниже приведены некоторые интегральные представления постоянной Каталана G через интегралы от элементарных функций:

<math>G = -\int_{0}^{1} \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt,</math>
<math>G = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1 + x^2 y^2} \,dx\, dy,</math>
<math>G = \tfrac12 \int_{0}^{\pi/2} \frac{t}{\sin t} \,dt,</math>
<math>G = \int_0^1 \frac{\arctan x}{x} \,dx,</math>
<math>G = \frac12 \int_0^\infty \frac{x}{\cosh x} \,dx.</math>

Она также может быть представлена через интеграл от полного эллиптического интеграла первого рода K(x):

<math>G = \frac12 \int_0^1 \mathrm{K}(x)\,dx.</math>

Быстро сходящиеся ряды

Следующие формулы содержат быстро сходящиеся ряды, и их удобно использовать для численных вычислений:

<math>G = \frac{\pi}{8} \ln(\sqrt{3} + 2) + \frac{3}{8} \sum_{n=0}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!(2n+1)^2}</math>

и

<math>G =</math> <math>3 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{4n}}

\left( -\frac{1}{2(8n+2)^2} +\frac{1}{2^2(8n+3)^2} -\frac{1}{2^3(8n+5)^2} +\frac{1}{2^3(8n+6)^2} -\frac{1}{2^4(8n+7)^2} +\frac{1}{2(8n+1)^2} \right) - {}</math>

<math>

{} - 2 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{12n}} \left( \frac{1}{2^4(8n+2)^2} +\frac{1}{2^6(8n+3)^2} -\frac{1}{2^9(8n+5)^2} -\frac{1}{2^{10} (8n+6)^2} -\frac{1}{2^{12} (8n+7)^2} +\frac{1}{2^3(8n+1)^2} \right).</math>

Теоретическое обоснование использования рядов такого типа было дано Сринивасой Рамануджаном (Srīnivāsa Rāmānujan Iyengar) для первой формулы[2] и Дэвидом Бродхёрстом (David J. Broadhurst) для второй формулы[3]. Алгоритмы быстрого вычисления постоянной Каталана были построены Е. А. Карацубой[4][5].

Цепные дроби

Цепная дробь константы Каталана (Шаблон:OEIS) выглядит следующим образом:

<math>G = [0; 1, 10, 1, 8, 1, 88, 4, 1, 1, 7, 22, 1, 2, 3, 26, 1, 11, 1, 10, 1, 9, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots] =</math>
<math>= 0+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{10+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{8+\ldots}}}}\;</math>

Известны следующие обобщённые цепные дроби для константы Каталана:

<math>2G = 2 - \cfrac{1}{3+\cfrac{2^2}{1+\cfrac{2^2}{3+\cfrac{4^2}{1 + \cfrac{4^2}{3+\cfrac{6^2}{1+\cfrac{6^2}{3+\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{4n^2}{1+\cfrac{4n^2}{3+\dots}}}}}}}}}} </math>
<math>2G = 1+\cfrac{1}{\cfrac{1}{2} + \cfrac{1^2}{\cfrac{1}{2}+\cfrac{1\cdot2}{\cfrac{1}{2}+\cfrac{2^2}{\cfrac{1}{2}+\cfrac{2\cdot3}{\cfrac{1}{2}+\cfrac{3^2}{\cfrac{1}{2}+\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{n^2}{\cfrac{1}{2}+\cfrac{n\cdot (n+1)}{\cfrac{1}{2}+\dots}}}}}}}}} </math> [6]

Вычисление десятичных цифр

Число известных значащих цифр постоянной Каталана G значительно выросло за последние десятилетия, благодаря как увеличению компьютерных мощностей, так и улучшению алгоритмов[7].

Число известных значащих цифр постоянной Каталана G
Дата Количество значащих цифр Авторы вычисления
1865 14 Эжен Шарль Каталан
1877 20 Джеймс Уитбред Ли Глейшер
1913 32 Джеймс Уитбред Ли Глейшер
1990 Шаблон:Nts Greg J. Fee
1996 Шаблон:Nts Greg J. Fee
1996, 14 августа Шаблон:Nts Greg J. Fee и Шаблон:Нп5
1996, 29 сентября Шаблон:Nts Thomas Papanikolaou
1996 Шаблон:Nts Thomas Papanikolaou
1997 Шаблон:Nts Patrick Demichel
1998, 4 января Шаблон:Nts Xavier Gourdon
2001 Шаблон:Nts Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2002 Шаблон:Nts Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2006, октябрь Шаблон:Nts Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[8]
2008, август Шаблон:Nts Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[9]
2009, 31 января Шаблон:Nts Alexander J. Yee & Raymond Chan[10]
2009, 16 апреля Шаблон:Nts Alexander J. Yee & Raymond Chan[10]

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Ссылки

Шаблон:Числа с собственными именами

  1. Шаблон:Cite web
  2. B. C. Berndt, Ramanujan’s Notebook, Part I, Springer Verlag (1985).
  3. D. J. Broadhurst, «Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5) Шаблон:Wayback», (1998) arXiv math.CA/9803067.
  4. Шаблон:Статья
  5. E. A. Karatsuba, Fast computation of some special integrals of mathematical physics. Scientific Computing, Validated Numerics, Interval Methods, W. Krämer, J. W. von Gudenberg, eds.; pp. 29—41 (2001).
  6. Steven R. Finch Mathematical Constants 1.6.6
  7. X. Gourdon, P. Sebah, Constants and Records of Computation Шаблон:Wayback
  8. Shigeru Kondo’s website Шаблон:Webarchive
  9. Шаблон:Cite web
  10. 10,0 10,1 Шаблон:Cite web