Русская Википедия:Постоянная Коупленда — Эрдёша

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Постоянная Коупленда — Эрдёша — вещественное число, строящееся как конкатенация «0,» («ноль целых…») со сцепленной последовательностью возрастающих простых чисел в десятичной записи:

0,235711131719232931374143…

Постоянная иррациональна; данный факт можно доказать с помощью теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии или постулата БертранаШаблон:Sfn или теоремой Рамаре (гласящей, что любое чётное целое число является суммой не более шести простых чисел). Данный факт также следует из того, что данная постоянная — нормальное число; нормальность постоянной в десятичной записи доказана в 1949 году Шаблон:Нп2 и Палом Эрдёшом.

Любая постоянная, образованная конкатенацией «0,» со всеми простыми числами в арифметической прогрессии <math>dn + a</math>, где <math>a</math> — взаимно простое число с числом <math>d</math> и числом 10, будет иррациональной. К примеру, таковы простые числа принимающие форму <math>4n + 1</math> или <math>8n + 1</math>. Согласно теореме Дирихле, арифметическая прогрессия <math>dn \cdot 10^m + a</math> содержит простые числа для любого числа <math>m</math>, и эти простые числа также находятся в <math>cd + a</math>, следовательно среди этих конкатенацированных простых чисел будет содержаться любое желаемое количество нулей, следующих друг за другом.

Постоянная Коупленда — Эрдёша может быть выражена как:

<math>\displaystyle \sum_{n=1}^\infty p_n 10^{-\left(n + \sum_{k=1}^n \lfloor \log_{10}{p_k} \rfloor \right)}</math>,

где <math>p_n</math> — это <math>n</math>-е простое число.

Непрерывная дробь числа — [0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, …].

Похожие постоянные

Для любой позиционной системы счисления с основанием <math>b</math> число:

<math>\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b^{-p_n}</math>,

которое может быть записано в этой системе счисления как 0,0110101000101000101…, где <math>n</math>-я цифра — это 1, если <math>n</math> — простое число, является иррациональнымШаблон:Sfn.

Постоянная Чемперноуна — конкатенация всех положительных целых чисел, а не только простых чисел.

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:Книга