Файл:Каскад бифуркаций для логистического отображения.jpgКаскад бифуркаций для логистического отображения. Над каждой точкой <math>a</math> на оси абсцисс отложены точки соответствующего предельного цикла отображения <math>x_{n+1} = ax_n(1 - x_n)</math>. Видно, что при увеличении <math>a</math> неподвижная точка сменяется циклом длины 2, он, в свою очередь, циклом длины 4, и так далее. Первая константа Фейгенбаума равна пределу отношения <math>L_i/L_{i+1}</math>, где <math>L_i</math> — расстояния между точками бифуркаций.
Одна из простейших динамических систем, где происходит каскад бифуркаций — это рекуррентные
последовательности <math>x_{n+1} = f_a(x_n)</math>, где <math>a</math> — некоторый параметр.
Один из простейшиx примеров функции <math>f_a(x)</math> — логистическое отображение
<math>
x_{n+1} = f_a(x_n) = ax_n(1 - x_n)
</math>
В зависимости от параметра <math>a</math>, в системе может присутствовать неподвижная точка или предельный цикл. При изменении <math>a</math> может произойти бифуркация, при которой предельный цикл удваивает свой период. Обозначим за
<math> a_n </math> значения <math> a </math>, при которых происходит удвоение периода. Оказывается,
что при больших <math> n </math> значения <math> a_n </math> сходятся к фиксированному значению
<math> a_\infty </math>. Сходимость происходит по геометрической прогрессии, причём показатель этой
геометрической прогрессии оказывается одинаковым для широкого класса функций
<math>f_a(x)</math> (универсальность Фейгенбаума). Этот показатель называется первой константой Фейгенбаума[1]
определяется как предел отношения между шириной ветвей на диаграмме бифуркаций (см. рисунок).
Эта константа тоже возникает в описании многих динамических систем.
Свойства констант Фейгенбаума
Предполагается, что обе константы являются трансцендентными, хотя это ещё не доказано.
