Русская Википедия:Потенциальная ступенька
Потенциа́льная ступе́нька — профиль потенциальной энергии частицы <math>U</math>, характеризующийся резким переходом от одного (принимаемого за нулевое, для удобства) значения к другому (<math>V_0</math>). Такие профили анализируются в квантовой механике, при этом коэффициент прохождения частицы с полной энергией <math>E > V_0</math> оказывается отличным от единицы.
Простейшим профилем потенциала указанного типа является скачок:
- <math>U(x) = 0</math> при <math>x<0\quad</math> и <math>\quad U(x) = V_0</math> при <math>x>0</math>.
Для учёта некоторого размытия перехода используется выражение
- <math>U(x)=\frac{1}{2}V_0 \left(1 + \mathrm{th} \frac{x}{2a} \right),\, a = \mbox{const} >0 </math>,
моделирующее монотонное возрастание от 0 на <math>-\infty</math> до <math>V_0</math> на <math>+\infty</math>.
Потенциальная ступенька может формироваться, например, координатной зависимостью энергии <math>U(x) = E_c(x)</math> дна зоны проводимости полупроводниковой гетероструктуры, когда из-за разности сродства к электрону двух материалов на их стыке возникает достаточно резкий скачок <math>E_c</math>.
Модель скачкообразной ступеньки
Стационарное уравнение Шрёдингера для скачкообразной потенциальной ступеньки имеет вид:
- <math>-\frac{\hbar^2}{2m} \Psi(x) + V_0 \Psi(x) = E \Psi(x)</math> для <math>x > 0</math>,
и то же самое без слагаемого с <math>V_0</math> для <math>x<0</math>. Здесь <math>m</math> — масса частицы, <math>\hbar</math> — редуцированная постоянная Планка, а <math>\Psi</math> — волновая функция частицы. Предполагается, что частица движется в сторону положительных <math>x</math>. Далее все символы с цифрой 1 относятся к области <math>x<0</math>, а с цифрой 2 — к <math>x>0</math>.
Считая, что <math>E>V_0</math>, волновую функцию для областей 1 (<math>\Psi=\psi_1</math>) и 2 (<math>\Psi=\psi_2</math>) запишем как
- <math>\psi_1(x)=e^{ik_1x}+re^{-ik_1x} \,(x<0) </math>
- <math>\psi_2(x)=te^{ik_2x}\,(x>0)</math>,
где
- <math>k_1=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}},\qquad k_2=\sqrt{\frac{2m(E-V_0)}{\hbar^2}}</math>.
Из требования непрерывности волновой функции и её производной в точке <math>x=0</math> получим
- <math>1+r=t </math>
- <math>i\hbar k_1-ir\hbar k_1=it\hbar k_2</math>,
что даёт
- <math>r=\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2},\qquad t=\frac{2k_1}{k_1+k_2} </math>.
В итоге имеем коэффициенты отражения (надбарьерного отражения) и прохождения:
- <math>R=|r|^2=\left(\frac{1-\sqrt{1-V_0/E}}{1+\sqrt{1-V_0/E}}\right)^2,\qquad
T=\frac{k_2}{k_1}|t|^2=\frac{4\sqrt{1-V_0/E}}{\left(1+\sqrt{1-V_0/E}\right)^2}</math>. Этот результат принципиально отличается от классического: в классической механике никакого отражения в таком случае нет, а <math>T = 1</math> независимо от <math>E</math>.
Модель размытой ступеньки
Стационарное уравнение Шрёдингера для размытой потенциальной ступеньки (степень размытия задаётся параметром <math>a</math>: чем он меньше, тем ближе потенциал к скачкообразному) записывается:
- <math>-\frac{\hbar^2}{2m} \Psi(x) +\frac{1}{2}V_0 \left(1 + \mathrm{th} \frac{x}{2a} \right)\Psi(x) = E \Psi(x)</math>
Если обозначить <math>k = \sqrt{2 m E/\hbar^2}</math> и <math>\lambda = \sqrt{2 m V_0 a^2/\hbar^2}</math>, то оно примет вид
- <math>\Psi(x) + \left(k^2-\frac{\lambda^2}{2 a^2} \left(1 + \mathrm{th} \frac{x}{2a} \right)\right)\Psi(x) = E \Psi(x).</math>
Если сделать замену переменной
- <math>y = \frac{1}{1 + e^{\frac{x}{a}}},</math>
то, с учётом обозначения <math>\varkappa = ka</math>, приведётся к виду:
- <math>y(1 - y) \Psi(y) + (1 - 2y) \Psi'(y) + \left(\frac{\varkappa^2}{y(1 - y)} - \frac{\lambda^2}{y} \right) \Psi(y) = 0.</math>
Так как точки <math>y = 0</math> и <math>y = 1</math> являются особыми точкам данного уравнения, то естественно искать решение в виде:
- <math>\Psi(y) = y^{\nu}(1 - y)^{\mu}f(y).</math>
Если выбрать <math>\nu = \sqrt{\lambda^2 - \varkappa^2}</math> и <math>\mu = i \varkappa</math>, то уравнение приведётся к гипергеометрическому уравнению Гаусса:
- <math>y(1 - y) f(y) + \left((2 \nu + 1) - (2 \mu + 2 \nu + 2) \right) f'(y) - (\mu + \nu)(\mu + \nu + 1) f(y) = 0.</math>
Выбирая решения с правильной асимптотикой, получим
- <math>f(y) = C \; _2F_1(\mu + \nu, \mu + \nu + 1; 2 \nu + 1; y)</math>
Тогда можно получить коэффициенты отражения и прохождения. В случае <math>E < V_0</math>:
- <math>R = 1, \qquad T = 0.</math>
Таким образом, наблюдается полное отражение. В случае <math>E > V_0</math> с учётом обозначения <math>\sigma = i \nu</math>:
- <math>R = \left(\frac{\mathrm{sh} \pi (\varkappa - \sigma)}{\mathrm{sh} \pi (\varkappa + \sigma)} \right)^2</math>
В пределе <math>a \rightarrow 0</math>
- <math>R = \left(\frac{\varkappa - \sigma}{\varkappa + \sigma} \right)^2</math>,
что совпадает с результатом предыдущего раздела, если вернуться к изначальным переменным.
Литература
Шаблон:Модели квантовой механики
