Русская Википедия:Потенциальный оператор

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Потенциальный оператор — математический оператор, отображающий открытое множество вещественного нормированного пространства в сопряжённое пространство и являющийся градиентом некоторого функционала с областью значений в сопряжённом пространстве.

Определение

Обозначим <math>E</math> — вещественное нормированное пространство, <math>E^*</math> — сопряжённое к нему пространство,<math>A</math> — открытое множество из <math>E</math>. Оператор <math>F: A \rightarrow E^*</math> называется потенциальным, если для всякого <math>x\in A</math> существует такой функционал <math>f(x) \in E^*</math>, что <math>F(x) = grad f(x)</math>. Функционал <math>f(x)</math> называется потенциалом оператора <math>F</math>Шаблон:Sfn.

Условие потенциальности операторов

Пусть оператор <math>F: E \rightarrow E^*</math> дифференцируем по Гато в каждой точке выпуклого открытого множества <math>\omega \subset E</math>. Тогда если дифференциал <math>DF(x, h)</math> непрерывен по <math>x</math> в каждой точке из <math>\omega</math>, то для потенциальности <math>F</math> в <math>\omega</math> необходимо и достаточно, чтобы <math>F</math> был симметрическим в <math>\omega</math>Шаблон:Sfn.

Пояснения

Оператор <math>F: E \rightarrow E^*</math> называется симметрическим в точке <math>x_{0}</math>, если он имеет дифференциал Гато в некоторой окрестности точки <math>x_{0}</math> и для любых <math>h_{1}, h_{2} \in E</math> выполняется равенство <math>\langle DF(x_{0}, h_{1}) h_{2} \rangle = \langle DF(x_{0}, h_{2}) h_{1} \rangle</math>.

Оператор Немыцкого

Оператор Немыцкого задаётся формулой <math>hu = g(u(x),x)</math>, где <math>g(u, x)</math> — вещественная функция, непрерывная по <math>u \in [ -\infty, +\infty ]</math> при почти каждом фиксированном <math>x \in B</math> и измерима как функция <math>x</math> при всяком фиксированном <math>u</math> и выполнено неравенство <math>|g(u, x)|\leqslant a(x) + b|u|^{p-1}</math>, где <math>p > 1</math>, <math>a(x)\in L^{p}(B)</math>, <math>B</math> — измеримое множество конечной или бесконечной лебеговой меры, принадлежащее <math>s</math>-мерному евклидову пространствуШаблон:Sfn.

Оператор Немыцкого является непрерывным потенциальным оператором. Он действует из пространства Лебега <math>L^{p}(B)</math> в пространство Лебега <math>L^{q}(B)</math>, где <math>p^{-1} + q^{-1} = 1</math> и его потенциал <math>f</math> определяется формулой <math>f(u)=f_{0}+\int_{B}dx\int_{0}^{u(x)}g(v,x)dv</math>, где <math>f_{0}</math> — произвольное число.

Литература

• Шаблон:Книга