Русская Википедия:Потенциал Пёшль — Теллера

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Потенциал Пёшль — Теллера — функция потенциальной энергии электростатического поля, предложенная венгерскими физиками Гертой Пёшль и Эдвардом Теллером как приближение для энергии двухатомной молекулы, альтернативный потенциалу Морзе. Потенциал имеет вид

<math>U(x) = \frac{\hbar^2}{2 m} a^2 \left( \frac{\varkappa(\varkappa - 1)}{\sin^2 ax} + \frac{\lambda(\lambda - 1)}{\cos^2 ax} \right)</math>

на промежутке <math>0 \leqslant x \leqslant \pi/(2 a)</math>, на границе которого он обращается в бесконечность. Параметры удовлетворяют условиям <math>\varkappa > 1</math> и <math>\lambda > 1</math>. Иногда потенциалом Пёшль — Теллера называют модифицированный потенциал Пёшль — Теллера.

Файл:Poschl–Teller potential.png

График потенциала Пёшль — Теллера с фиксированным параметром <math>\lambda = 3</math> и различными значениями <math>\varkappa</math>

Уравнение Шрёдингера с потенциалом Пёшль — Теллера

Стационарное уравнение Шрёдингера с потенциалом Пёшль — Теллера имеет вид:

<math> - \frac{\hbar^2}{2 m} \Psi(x) + \frac{\hbar^2}{2 m} a^2 \left( \frac{\varkappa(\varkappa- 1)}{\sin^2 ax} + \frac{\lambda(\lambda - 1)}{\cos^2 ax} \right)\Psi(x) = E \Psi(x).</math>

Если ввести обозначение <math>k = \sqrt{2 m E / \hbar^2}</math>, то оно примет вид:

<math>\Psi(x)+ \left(k^2 - a^2\frac{\varkappa(\varkappa- 1)}{\sin^2 ax} - a^2\frac{\lambda(\lambda - 1)}{\cos^2 ax} \right)\Psi(x) = 0.</math>

После замены переменных

<math>y = \sin^2 ax</math>

получим

<math>y(1 - y)\Psi(y) + \left( \frac{1}{2} - y \right)\Psi'(y) + \frac{1}{4}\left( \frac{k^2}{a^2} - \frac{\varkappa(\varkappa - 1)}{y} - \frac{\lambda(\lambda - 1)}{1 -y}\right)\Psi(y) = 0.</math>

Так как точки 0 и 1 являются особыми, то естественно представить решение в виде:

<math>\Psi(y) = y^{\mu} (1 - y)^{\nu} f(y)</math>

Если выбрать

<math>\mu = \frac{\varkappa}{2}, \qquad \nu = \frac{\lambda}{2},</math>

то уравнение приведётся к гипергеометрическому виду:

<math>y(1 - y) f(y) + \left( \left( \varkappa + \frac{1}{2} \right) - y \left( \varkappa + \lambda + 1 \right) \right) f'(y) + \frac{1}{4} \left( \frac{\varkappa^2}{a^2}+(\varkappa + \lambda)^2\right) f(y) = 0.</math>

Общее решение данного уравнения может быть выражено через гипергеометрические функции:

<math>f(y)= C_1 \; _2F_1(a, b ; c; y) + C_2 y^{1 - c} \; _2F_1(a + 1 - c, b + 1 - c ; 2 - c; y),</math>

где введены обозначения:

<math>a = \frac{1}{2} \left( \varkappa + \lambda + \frac{k}{a} \right), \quad b = \frac{1}{2} \left( \varkappa + \lambda - \frac{k}{a} \right), \quad c = \varkappa + \frac{1}{2}.</math>

Если учесть граничные условия:

<math>\Psi(0) = \Psi(1) = 0,</math>

то получим собственные функции

<math>\Psi_n(x) = C_1 \sin^{\varkappa}(a x) \cos^{\lambda}(a x) \; _2 F_1(-n, \varkappa + \lambda + n; \varkappa + \frac{1}{2}; \sin^2 ax), </math>

где константа вычисляется с учётом нормировки:

<math> C_1 = \left( \int\limits_0^1 \sin^{\varkappa}(a x) \cos^{\lambda}(a x) \; _2 F_1(-n, \varkappa + \lambda + n; \varkappa + \frac{1}{2}; \sin^2 ax) dx \right)^{-\frac{1}{2}}.</math>

Соответствующие уровни энергии равны:

<math>E_n = - \frac{\hbar^2}{2 m} (\varkappa + \lambda + 2n)^2, \quad n \in \mathbb{Z}_+.</math>

Литература

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга