Русская Википедия:Поток Риччи

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Другие значения термина Поток Риччи — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая деформацию римановой метрики на многообразии.

Эта система является нелинейным аналогом уравнения теплопроводности.

Назван по аналогии с кривизной Риччи, в честь итальянского математика Риччи-Курбастро.

Уравнение

Уравнение потока Риччи имеет вид:

<math>\partial_t g_t=-2\cdot\mathrm{Rc}_{t}.</math>

где <math>g_t</math> обозначает однопараметрическое семейство римановых метрик на полном многообразии (зависящая от вещественного параметра <math>t</math>), и <math>\mathrm{Rc}_{t}</math> — её тензор Риччи.

Свойства

  • Формально говоря, система уравнений <math>R</math>, задаваемая потоком Риччи, не является параболическим уравнением. Тем не менее, существует параболическая система уравнений <math>R'</math>, предложенная Детурком, такая, что если <math>g_0</math> риманова метрика на компактном многообразии <math>M</math> и <math>g_t</math>, <math>g'_t</math> — решения систем <math>R</math> и <math>R'</math>, то <math>(M,\;g_t)</math> изометрично <math>(M,\;g_t')</math> для всех <math>t</math>.
    • Эта конструкция существенно упростила доказательство существования решения, она называется «трюком Детурка».
  • Аналогично уравнению теплопроводности (и прочим параболическим уравнениям), задав произвольные начальные условия при <math>t=0</math>, можно получить решения лишь в одну сторону по <math>t</math>, а именно <math>t\geqslant 0</math>.
  • В отличие от решений уравнения теплопроводности, поток Риччи, как правило, не продолжается неограниченно при <math>t\to\infty</math>. Решение продолжается на максимальный интервал <math>[0,\;T)</math>. В случае если <math>T</math> конечно, при приближении к <math>T</math> кривизна многообразия идёт к бесконечности, и в решении формируется сингулярность. Именно на исследовании сингулярностей, в которые упираются потоки Риччи, и было основано доказательство гипотезы Тёрстона.
  • Псевдолокальность — если некоторая окрестность точки в начальный момент выглядит почти как кусок евклидова пространства, то это свойство сохранится определённое время в потоке Риччи у меньшей окрестности.

Изменение геометрических характеристик

  • Для объёма <math>\mathrm{vol}_t</math> метрики <math>g_t</math> верно соотношение
    <math>\tfrac\partial{\partial t} (\mathrm{d}\,\mathrm{vol}_t)=-\mathrm{R}_t\cdot(\mathrm{d}\,\mathrm{vol}_t).</math>
  • Для скалярной кривизны <math>\mathrm{R}_t</math> метрики <math>g_t</math> верно соотношение
    <math>\tfrac\partial{\partial t} \mathrm{R}_t=\triangle_t \mathrm{R}_t+|\mathrm{Rc}_t|^2</math>
где <math>|\mathrm{Rc}_t|^2</math> определяется как <math>\sum_{i,j}(\mathrm{Rc}(e_i,e_j))^2</math> для ортонормированного репера <math>\{e_i\}</math> в точке.
  • В частности, согласно принципу максимума, поток Риччи сохраняет положительность скалярной кривизны.
  • Более того, нижняя грань скалярной кривизны не убывает.
  • Для каждого <math>g_0</math>-ортонормированного репера <math>\{e^i\}</math> в точке <math>x\in M</math> существует так называемый сопутствующий <math>g_t</math>-ортонормированный репер <math>\{e^i_t\}</math>. Для тензора кривизны <math>\mathrm{Rm}_t</math>, записанного в этом базисе, верно соотношение
    <math>\tfrac\partial{\partial t} \mathrm{Rm}_t=\triangle_t \mathrm{Rm}_t+Q(\mathrm{Rm}_t,\mathrm{Rm}_t),</math>
где <math>Q</math> — определённая билинейная квадратичная форма на пространстве тензоров кривизны и со значениями в них.
  • Билинейная квадратичная форма <math>Q</math> определяет векторное поле на векторном пространстве тензоров кривизны — каждому тензору кривизны <math>x</math> приписывается другой тензор кривизны <math>v_x=Q(x,x)</math>. Решения ОДУ
<math>\dot x= v_x</math>
играют важную роль в теории потоков Риччи.
  • Выпуклые множества <math>K</math> в пространстве тензоров кривизны, инвариантные относительно вращений и такие, что если в приведённом ОДУ <math>x(0)\in K</math>, то <math>x(t)\in K</math> при <math>t\ge 0</math>, называются инвариантными для потока Риччи. Если кривизна римановой метрики на замкнутом многообразии в каждой точке принадлежит такому <math>K</math>, то тоже верно и для метрик, получаемых из неё потоком Риччи. Рассуждения такого сорта называются «принципом максимума» для потока Риччи.
  • К инвариантным множествам относятся

Размерность 3

В случае, когда размерность пространства равна 3, для каждого <math>x</math> и <math>t</math> можно подобрать репер <math>\{e^i_t\}</math>, в котором <math>\mathrm{Rm}_t</math> диагонализуется в базисе <math>e_1\wedge e_2</math>, <math>e_2\wedge e_3</math>, <math>e_3\wedge e_1</math>, скажем,

<math>\mathrm{Rm}=\begin{pmatrix}\lambda&0&0\\0&\mu&0\\0&0&\nu\end{pmatrix}.</math>

Тогда

<math>Q(\mathrm{Rm},\mathrm{Rm})=\begin{pmatrix}\lambda^2+\mu\cdot\nu&0&0\\0&\mu^2+\nu\cdot\lambda&0\\0&0&\nu^2+\lambda\cdot\mu\end{pmatrix}.</math>

История

Начало исследованию потока Риччи было положено Гамильтоном в начале 1980-x годов. С помощью потоков Риччи были доказаны несколько гладких теорем о сфере.

Используя потоки Риччи в своих статьях[1], опубликованных в 2002-2003 годах, Перельману удалось доказать гипотезу Тёрстона, проведя тем самым полную классификацию компактных трёхмерных многообразий, и доказать гипотезу Пуанкаре.[2]

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ См. статьи Григория Перельмана в списке литературы.
  2. ↑ http://arxiv.org/pdf/math/0607607.pdf Шаблон:Wayback «This conjecture was formulated by Henri Poincaré [58] in 1904 and has remained open until the recent work of Perelman. … Perelman’s arguments rest on a foundation built by Richard Hamilton with his study of the Ricci flow equation for Riemannian metrics.».
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Поток_Риччи&oldid=10632499