Русская Википедия:Поток векторного поля
Пото́к ве́кторного по́ля — термин, используемый в математике для двух различных понятий:
- поток векторного поля через поверхность, это понятие широко используется и в физике, особенно в электродинамике;
- фазовый поток — поток векторного поля <math>\vec A</math> — однопараметрическое семейство диффеоморфизмов <math>\Gamma_t</math>, определяемых дифференциальным уравнением <math>\vec A(\Gamma_t(x)) = d\Gamma_t(x)/dt</math>.
Ниже представлено первое из названных понятий (второму посвящена отдельная статья).
Поток векторного поля через поверхность
Поток векторного поля через поверхность — поверхностный интеграл второго рода по поверхности <math>S</math>. По определению,
- <math>{{\Phi }_{F}}=\iint\limits_{S}{\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\,dS}</math>,
где <math>\mathbf{F} = \mathbf{F(X)}</math> — векторное поле (вектор-функция векторного аргумента — точки пространства), <math>\mathbf{n}</math> — единичный вектор положительной нормали к поверхности (положительное направление выбирается для ориентируемой поверхности условно, но одинаково для всех точек — то есть для дифференцируемой поверхности — так, чтобы <math>\mathbf{n}</math> было непрерывно; для неориентируемой поверхности это не важно, так как поток через неё всегда ноль), <math>dS</math> — элемент поверхности.
В трёхмерном случае <math>\mathbf{X} = (x,y,z), \mathbf{F} = \mathbf{F(X)} = \left( F_{x}(\mathbf{X}),F_{y}(\mathbf{X}),F_{z}(\mathbf{X}) \right)</math>, а поверхностью является обычная двумерная поверхность.
Иногда применяется обозначение
- <math>d\mathbf{S}=\mathbf{n}\,dS</math>.
тогда поток записывается в виде
- <math>{{\Phi }_{F}}=\iint\limits_{S}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}}</math>.
Размерность потока — это размерность величины <math>\mathbf{F}</math>, домноженная на квадратный метр (в СИ).
Некоторые физические примеры
- Из гидродинамики
Пусть движение несжимаемой жидкости единичной плотности в пространстве задано векторным полем скорости течения <math>\mathbf{v} = \mathbf{v}(x, y, z)</math>. Тогда объём жидкости, который протечёт за единицу времени через поверхность <math>S</math>, будет равен потоку векторного поля <math>\mathbf{v}</math>.
Если плотность равна <math>\rho</math>, то масса жидкости, которая протечёт за единицу времени через поверхность будет равна потоку величины <math>\rho\mathbf{v}</math>:
- <math>\frac{dM}{dt} = {{\Phi }_{\rho\mathbf{v}}}=\iint\limits_{S}{\rho\mathbf{v}\cdot d\mathbf{S}}</math>.
- Из электродинамики
В основных уравнениях электродинамики — уравнениях Максвелла — фигурируют потоки вектора электрической индукции и вектора магнитной индукции
- <math>{{\Phi }_{D}}=\iint\limits_{S}{\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}}\quad</math> и <math>\quad{{\Phi }_{B}}=\iint\limits_{S}{\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}}</math>.
А именно, эти потоки, если они вычислены для замкнутой поверхности, равны заряду внутри поверхности:
- <math>\oint\limits_{S}{\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}} = Q\quad</math> и <math>\quad\oint\limits_{S}{\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}} = 0</math>,
где <math>Q</math> — электрический заряд, а поток вектора <math>\mathbf{B}</math> нулевой, так как магнитные заряды не существуют.
Ещё пример из электродинамики. Электрический ток представляет собой поток векторного поля плотности тока:
- <math>I = \iint\limits_{S}\mathbf{j}\cdot d\mathbf{S}</math>
через поперечное сечение токоведущего проводника.
- О понятии плотности потока
Если векторным полем <math>\mathbf{F}</math>, поток которого вычисляется, характеризуется перенос какой-либо скалярной величины (например, массы в примере с жидкостью или заряда в примере с током; другие возможные случаи — перенос энергии, перенос спина), то такое поле в данном контексте называется плотностью потока. В таких случаях <math>\mathbf{F}</math> имеет структуру <math>\mathbf{F} = \rho_f\mathbf{v}</math>, где <math>\rho_f</math> обозначает плотность переносимой величины (массы в кг/м3, заряда в Кл/м3, энергии в Дж/м3 и т.д.), а <math>\mathbf{v}</math> — скорость переноса. Если не переносится ничего (как для потока <math>\mathbf{D}</math>, <math>\mathbf{B}</math>), подобное название не имеет смысла.
См. также
Шаблон:Math-stub Шаблон:Нет ссылок
