Русская Википедия:Поток (интуиционизм)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Другие значения Пото́к — одно из основных понятий интуиционистской математики.

Определение

Поток <math>M</math> определяется как совокупность двух законов <math>\Lambda_M</math> и <math>\Gamma_M</math>, называемых законом потока и дополнительным законом соответственно. Закон потока <math>\Lambda_M</math> делит кортежи натуральных чисел на допустимые и недопустимые и должен обладать следующими свойствами:

1. Пустой кортеж <math>\langle\rangle</math> является допустимым.
2. Для любого допустимого кортежа <math>\langle a_1, \ldots, a_n\rangle</math> найдётся по меньшей мере одно натуральное число <math>k</math>, для которого кортеж <math>\langle a_1, \ldots, a_n, k\rangle</math> также будет допустимым.
3. Для любого допустимого кортежа вида <math>\langle a_1, \ldots, a_n, k\rangle</math> кортеж <math>\langle a_1, \ldots, a_n\rangle</math> также является допустимым.

Дополнительный закон <math>\Gamma_M</math> сопоставляет допустимым кортежам произвольные математические объекты.

Свободно становящиеся последовательности натуральных чисел <math>\{a_k\}_{k=1}^\infty</math>, для которых при любом <math>n</math> кортеж <math>\langle a_1, \ldots, a_n\rangle</math> является допустимым по закону потока <math>M</math>, называются допустимыми свободно становящимися последовательностями. Отвечающие им последовательности <math>\{\Gamma_M(a_k)\}_{k=1}^\infty</math> (где <math>\Gamma_M</math> — дополнительный закон потока <math>M</math>) называются элементами потока <math>M</math>.

Образно поток может быть представлен как дерево, из каждой вершины которого выходит по меньшей мере одна ветвь, и на каждую вершину которого «навешен» тот или иной математический объект. Допустимые свободно становящиеся последовательности натуральных чисел можно представлять в виде бесконечных путей в таком дереве.

Применение в интуиционистской математике

На понятии потока основаны многие конструкции интуиционистского анализа. Так, континуум <math>[0,1]</math> нередко рассматривается в интуиционистской математике как следующий поток рациональных отрезков:

1. допустимыми по закону потока считаются кортежи, все элементы которых равны <math>1</math> или <math>2</math>;
2. если допустимому кортежу <math>\langle a_1,\ldots,a_n\rangle</math> дополнительным законом сопоставлен отрезок <math>[a,b]</math>, то кортежу <math>\langle a_1,\ldots,a_n,1\rangle</math> сопоставляется отрезок <math>[a,(a+b)/2]</math>, а кортежу <math>\langle a_1,\ldots,a_n,2\rangle</math> — отрезок <math>[(a+b)/2,b]</math>.

Элементы этого потока считаются вещественными числами, лежащими на отрезке <math>[0,1]</math>.

Запирающие условия и бар-индукция

Пусть <math>\mathcal K</math> — некоторое условие, накладываемое на допустимые кортежи. Такое условие называется запирающим поток, если для любой допустимой по закону потока свободно становящейся последовательности <math>\{a_n\}_{n=1}^{\infty}</math> найдётся номер <math>n</math>, для которого кортеж <math>\langle a_1,\ldots,a_n\rangle</math> удовлетворяет условию <math>\mathcal K</math>. В интуиционистской математике считается приемлемым следующий способ умозаключения: Шаблон:Рамка Пусть условие <math>\mathcal K</math> запирает поток <math>M</math>, и пусть условие <math>\mathcal T</math>, накладываемое на допустимые кортежи потока <math>M</math>, обладает следующими свойствами:

1. Любой допустимый кортеж, удовлетворяющий условию <math>\mathcal K</math>, удовлетворяет условию <math>\mathcal T</math>.
2. Если все допустимые кортежи вида <math>\langle a_1,\ldots,a_n,k\rangle</math> удовлетворяют условию <math>\mathcal T</math>, то допустимый кортеж <math>\langle a_1,\ldots,a_n\rangle</math> также удовлетворяет условию <math>\mathcal T</math>.

В таком случае пустой кортеж удовлетворяет условию <math>\mathcal T</math>. Шаблон:Конец рамки Такой способ умозаключения называется бар-индукцией.

Одним из характерных примеров применения бар-индукции является принадлежащая Л. Э. Я. Брауэру теорема о веере: Шаблон:Рамка Если поток <math>M</math> финитарен (то есть из каждой его вершины выходит лишь конечное число ветвей) и условие <math>\mathcal K</math> запирает поток <math>M</math>, то найдётся такое натуральное число <math>N</math>, что для любой допустимой свободно становящейся последовательности <math>\{a_k\}_{k=1}^\infty</math> найдётся удовлетворяющий условию <math>\mathcal K</math> кортеж <math>\langle a_1, \ldots, a_n\rangle</math> со свойством <math>n < N</math>. Шаблон:Конец рамки

В теоретико-множественной математике аналогичное утверждение известно под именем «лемма Кёнига о бесконечном пути».