Русская Википедия:Почти плоское многообразие

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Почти плоское многообразие — гладкое компактное многообразие М такое, что для любого <math>\varepsilon>0 </math> на М существует риманова метрика <math>g_\varepsilon </math>, такая, что <math> \mbox{diam}(M,g_\varepsilon)\leqslant 1 </math> и <math> g_\varepsilon </math> является <math>\varepsilon</math>-плоской, то есть её секционные кривизны <math> K_{g_\varepsilon} </math> в каждой точке удовлетворяют неравенству

<math> |K_{g_\epsilon}| < \varepsilon.</math>

Примеры

• Любое компактное многообразие, допускающее плоскую метрику, является почти плоским. В частности, почти плоскими многообразиями являются
  • <math>n</math>-мерный тор
  • Бутылка Клейна
• Примером не плоского, но почти плоского многообразия является пространство нетривиального расслоения со слоем окружность над тором. Это пространство можно получить как фактор группы Гейзенберга по её целочисленной подгруппе и его конечные накрытия.

Свойства

• Для любого n существует положительное число <math>\varepsilon_n>0 </math> такое, что если n-мерное многообразие допускает <math>\varepsilon_n</math>-плоские метрики с диаметром <math>\leqslant 1 </math>, то онo почти плоскоe.
• Почти плоское многообразие как многообразие, коллапсирующее к точке с зажатой кривизной: М — почти плоское, если для любого <math>\varepsilon>0</math> на М существует риманова метрика <math>g_\varepsilon</math>, такая, что диаметр многообразия меньше <math>\varepsilon</math>, и <math>g_\varepsilon</math> имеет ограниченную секционную кривизну, скажем, в каждой точке удовлетворяют неравенству <math>|K_{g_\epsilon}| < 1</math>.
• По теореме Громова — Руха, многообразие М является почти плоским тогда и только тогда, когда оно является инфранильмногообразием. В частности, оно является конечным фактором нильмногообразия. Последнее можно определить индуктивно как пространство главного расслоения со слоем окружность над нильмногообразием.

Литература

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.