Русская Википедия:Правила Фудзиты
Правила Фудзиты — набор из семи правил, формально описывающие геометрические построения с помощью плоского оригами, подобным построениям с помощью циркуля и линейки.
Фактически они описывают все возможные способы получения одной новой складки на листе бумаги, путём совмещения уже существующих различных элементов листа — точек и линий. Под линиями подразумеваются края листа или складки бумаги, под точками — пересечения линий. Существенным моментом является то, что сгиб формируется единственной складкой, причём в результате складывания фигура остается плоской.
Часто эти правила называют «аксиомами», хотя с формальной точки зрения аксиомами они не являются.
Правила
Складки в этих правилах существуют не всегда, правило утверждает только, что если такая складка есть, то её «можно» найти.
Правило 1
Пусть заданы две точки <math>p_1</math> и <math>p_2</math>, тогда лист можно сложить так, что данные две точки будут лежать на складке. Шаблон:-
Правило 2
Пусть заданы две точки <math>p_1</math> и <math>p_2</math>, тогда лист можно сложить так, что одна точка перейдёт в другую. Шаблон:-
Правило 3
Пусть заданы две прямые <math>l_1</math> и <math>l_2</math>, тогда лист можно сложить так, что одна прямая перейдёт в другую. Шаблон:-
Правило 4
Пусть заданы прямая <math>l_1</math> и точка <math>p_1</math>, тогда лист можно сложить так, что точка попадёт на складку, а прямая перейдёт сама в себя (то есть линия складки будет ей перпендикулярна). Шаблон:-
Правило 5
Пусть заданы прямая <math>l_1</math> и две точки <math>p_1</math> и <math>p_2</math>, тогда лист можно сложить так, что точка <math>p_2</math> попадёт на складку, а <math>p_1</math> — на прямую <math>l_1</math>. Шаблон:-
Правило 6 (складка Белок)
Пусть заданы две прямые <math>l_1</math> и <math>l_2</math> и две точки <math>p_1</math> и <math>p_2</math>, тогда лист можно сложить так, что точка <math>p_1</math> попадёт на прямую <math>l_1</math>, а точка <math>p_2</math> попадёт на прямую <math>l_2</math>. Шаблон:-
Правило 7
Пусть заданы две прямые <math>l_1</math> и <math>l_2</math> и точка <math>p</math>, тогда лист можно сложить так, что точка <math>p</math> попадёт на прямую <math>l_1</math>, а прямая <math>l_2</math> перейдёт сама в себя (то есть линия складки будет ей перпендикулярна). Шаблон:-
Замечания
Все складки в этом списке можно получить как результат последовательного применения правила номер 6. То есть для математика они ничего не добавляют, однако позволяют уменьшить количество сгибов. Система из семи правил является полной в том смысле, что они описывают все возможные способы получения одной новой складки на листе бумаги, путём совмещения уже существующих различных элементов листа. Это последнее утверждение было доказано Лэнгом[1].
Возможные и невозможные построения
Возможные
Все построения являются ничем иным, как решениями какого-либо уравнения, причём коэффициенты этого уравнения связаны с длинами заданных отрезков. Поэтому удобно говорить о построении числа — графического решения уравнения определенного типа. В рамках вышеописанных требований, возможны следующие построения:
- Построение решений линейных уравнений.
- Построение решений квадратных уравнений.
- Построение решений кубических уравнений (правило 6).
Иначе говоря, возможно построить лишь числа равные арифметическим выражениям с использованием квадратного и кубического корней из исходных чисел (длин отрезков). В частности, при помощи таких построений можно осуществить удвоение куба, трисекцию угла, построение правильного семиугольника.
Невозможные
Решение задачи о квадратуре круга однако остаётся невозможным, так как π — трансцендентное число.
История
Основное правило (номер 6) было рассмотрено Маргеритой Пьяцолла Белок[2], ей же принадлежат первые построения трисекции угла и квадратуры круга с помощью оригами-построений. Складки Белок достаточно для того, чтобы получить складки во всех остальных правилах.
Полный список правил появляется в работе Жака Жюстина[3], который позднее также ссылался на Питера Мессера как на соавтора. Практически одновременно правила 1—6 были сформулированы Фумиаки Фудзитой[4]. Последнее седьмое правило добавил ещё позже Косиро Хатори[5].
Вариации и обобщения
Список возможных построений можно значительно расширить, если позволить создание нескольких складок за один раз. Хотя человек, решивший провести несколько складок за одно действие, на практике столкнется с трудностями физического порядка, тем не менее возможно вывести правила, аналогичные правилам Фудзита и для этого случая[6].
При допущении таких дополнительных правил, возможно доказать следующую теорему:
- Любое алгебраическое уравнение степени <math>n</math> может быть решено одновременными <math>(n-2)</math>-кратными складками .
Представляет интерес, возможно ли решить то же уравнение складыванием, вовлекающим меньшее количество одновременных складок. Это, несомненно, верно для <math>n=4</math> и неизвестно для <math>n=5</math>[6].
См. также
Примечания
Ссылки
- Шаблон:Статья
- Лэнг Р. Huzita Axiomas Шаблон:Wayback.Шаблон:Ref-en
- Hull T. Origami Geometric Constructions.Шаблон:Ref-en
- Шаблон:Статья
- ↑ Lang R. Origami and Geometric Constructions Шаблон:Архивировано.
- ↑ Beloch, M. P. Sul metodo del ripiegamento della carta per la risoluzione dei problemi geometrici / Periodico di Mathematiche. — Ser. 4. — Vol. 16. — 1936. — pp. 104—108.
- ↑ Justin, J. Resolution par le pliage de l’equation du troisieme degre et applications geometriques, reprinted in Proceedings of the First International Meeting of Origami Science and Technology. — H. Huzita ed. — 1989. — pp. 251—261.
- ↑ Huzita Humiaki Axiomatic Development of Origami Geometry / Proceedings of the First International Meeting of Origami Science and Technology. — Humiaki Huzita, ed. — 1989. — pp. 143—158.
- ↑ Koshiro Hatori Origami Construction Шаблон:Wayback.
- ↑ 6,0 6,1 Alperin R. C., Lang R. J. One-, Two- and Multi-Fold Origami Axioms Шаблон:Wayback.
