Русская Википедия:Правила Фудзиты

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Правила Фудзиты — набор из семи правил, формально описывающие геометрические построения с помощью плоского оригами, подобным построениям с помощью циркуля и линейки.

Фактически они описывают все возможные способы получения одной новой складки на листе бумаги, путём совмещения уже существующих различных элементов листа — точек и линий. Под линиями подразумеваются края листа или складки бумаги, под точками — пересечения линий. Существенным моментом является то, что сгиб формируется единственной складкой, причём в результате складывания фигура остается плоской.

Часто эти правила называют «аксиомами», хотя с формальной точки зрения аксиомами они не являются.

Правила

Складки в этих правилах существуют не всегда, правило утверждает только, что если такая складка есть, то её «можно» найти.

Правило 1

Файл:Huzita axiom 1.png

Пусть заданы две точки <math>p_1</math> и <math>p_2</math>, тогда лист можно сложить так, что данные две точки будут лежать на складке. Шаблон:-

Правило 2

Файл:Huzita axiom 2.png

Пусть заданы две точки <math>p_1</math> и <math>p_2</math>, тогда лист можно сложить так, что одна точка перейдёт в другую. Шаблон:-

Правило 3

Файл:Huzita axiom 3.png

Пусть заданы две прямые <math>l_1</math> и <math>l_2</math>, тогда лист можно сложить так, что одна прямая перейдёт в другую. Шаблон:-

Правило 4

Файл:Huzita axiom 4.png

Пусть заданы прямая <math>l_1</math> и точка <math>p_1</math>, тогда лист можно сложить так, что точка попадёт на складку, а прямая перейдёт сама в себя (то есть линия складки будет ей перпендикулярна). Шаблон:-

Правило 5

Файл:Huzita axiom 5.png

Пусть заданы прямая <math>l_1</math> и две точки <math>p_1</math> и <math>p_2</math>, тогда лист можно сложить так, что точка <math>p_2</math> попадёт на складку, а <math>p_1</math> — на прямую <math>l_1</math>. Шаблон:-

Правило 6 (складка Белок)

Файл:Huzita axiom 6.png

Пусть заданы две прямые <math>l_1</math> и <math>l_2</math> и две точки <math>p_1</math> и <math>p_2</math>, тогда лист можно сложить так, что точка <math>p_1</math> попадёт на прямую <math>l_1</math>, а точка <math>p_2</math> попадёт на прямую <math>l_2</math>. Шаблон:-

Правило 7

Файл:Huzita-Hatori axiom 7.png

Пусть заданы две прямые <math>l_1</math> и <math>l_2</math> и точка <math>p</math>, тогда лист можно сложить так, что точка <math>p</math> попадёт на прямую <math>l_1</math>, а прямая <math>l_2</math> перейдёт сама в себя (то есть линия складки будет ей перпендикулярна). Шаблон:-

Замечания

Все складки в этом списке можно получить как результат последовательного применения правила номер 6. То есть для математика они ничего не добавляют, однако позволяют уменьшить количество сгибов. Система из семи правил является полной в том смысле, что они описывают все возможные способы получения одной новой складки на листе бумаги, путём совмещения уже существующих различных элементов листа. Это последнее утверждение было доказано Лэнгом[1].

Возможные и невозможные построения

Возможные

Все построения являются ничем иным, как решениями какого-либо уравнения, причём коэффициенты этого уравнения связаны с длинами заданных отрезков. Поэтому удобно говорить о построении числа — графического решения уравнения определенного типа. В рамках вышеописанных требований, возможны следующие построения:

Иначе говоря, возможно построить лишь числа равные арифметическим выражениям с использованием квадратного и кубического корней из исходных чисел (длин отрезков). В частности, при помощи таких построений можно осуществить удвоение куба, трисекцию угла, построение правильного семиугольника.

Невозможные

Решение задачи о квадратуре круга однако остаётся невозможным, так как π — трансцендентное число.

История

Основное правило (номер 6) было рассмотрено Маргеритой Пьяцолла Белок[2], ей же принадлежат первые построения трисекции угла и квадратуры круга с помощью оригами-построений. Складки Белок достаточно для того, чтобы получить складки во всех остальных правилах.

Полный список правил появляется в работе Жака Жюстина[3], который позднее также ссылался на Питера Мессера как на соавтора. Практически одновременно правила 1—6 были сформулированы Фумиаки Фудзитой[4]. Последнее седьмое правило добавил ещё позже Косиро Хатори[5].

Вариации и обобщения

Список возможных построений можно значительно расширить, если позволить создание нескольких складок за один раз. Хотя человек, решивший провести несколько складок за одно действие, на практике столкнется с трудностями физического порядка, тем не менее возможно вывести правила, аналогичные правилам Фудзита и для этого случая[6].

При допущении таких дополнительных правил, возможно доказать следующую теорему:

Любое алгебраическое уравнение степени <math>n</math> может быть решено одновременными <math>(n-2)</math>-кратными складками .

Представляет интерес, возможно ли решить то же уравнение складыванием, вовлекающим меньшее количество одновременных складок. Это, несомненно, верно для <math>n=4</math> и неизвестно для <math>n=5</math>[6].

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Ссылки

  1. Lang R. Origami and Geometric Constructions Шаблон:Архивировано.
  2. Beloch, M. P. Sul metodo del ripiegamento della carta per la risoluzione dei problemi geometrici / Periodico di Mathematiche. — Ser. 4. — Vol. 16. — 1936. — pp. 104—108.
  3. Justin, J. Resolution par le pliage de l’equation du troisieme degre et applications geometriques, reprinted in Proceedings of the First International Meeting of Origami Science and Technology. — H. Huzita ed. — 1989. — pp. 251—261.
  4. Huzita Humiaki Axiomatic Development of Origami Geometry / Proceedings of the First International Meeting of Origami Science and Technology. — Humiaki Huzita, ed. — 1989. — pp. 143—158.
  5. Koshiro Hatori Origami Construction Шаблон:Wayback.
  6. 6,0 6,1 Alperin R. C., Lang R. J. One-, Two- and Multi-Fold Origami Axioms Шаблон:Wayback.