Русская Википедия:Правило Лопиталя
Теорема Лопита́ля (также правило Бернулли — Лопиталя[1]) — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида <math>0/0</math> и <math>\infty/\infty</math>. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Точная формулировка
Шаблон:Основной источник Теорема Лопиталя:
Если: <math>f(x),\, g(x)</math> — действительнозначные функции, дифференцируемые в проколотой окрестности <math>U</math> точки <math>a</math>, где <math>a</math> — действительное число или один из символов <math>+\infty, - \infty, \infty</math>, причём
- <math>\lim_{x\to a}{f(x)}=\lim_{x\to a}{g(x)}=0</math> или <math>\infty</math>;
- <math>g'(x)\neq 0</math> в <math>U</math>;
- существует <math>\lim\limits_{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}</math>;
тогда существует <math>\lim\limits_{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}} = \lim\limits_{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}</math>.
Пределы также могут быть односторонними.
История
Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован в учебнике «Analyse des Infiniment Petits» 1696 года за авторством Гийома Лопиталя. Метод был сообщён Лопиталю в письме его первооткрывателем Иоганном Бернулли.[2]
Примеры
- <math>\lim_{x \to 0}\frac{x^2+5x} {3x} = \lim_{x \to 0}\frac{2x+5} {3} = \frac{5} {3}</math>
- <math>\lim_{x \to \infty}\frac{x^3+4x^2+7x+9} {x^3+3x^2} = \lim_{x \to \infty}\frac{3x^2+8x+7} {3x^2+6x}= \lim_{x \to \infty}\frac{6x+8} {6x+6}= \frac{6} {6}=1</math>
Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, но можно поступить иначе. Необходимо разделить и числитель, и знаменатель на <math>x</math> в наибольшей степени(в нашем случае <math>x^3</math>). В этом примере получается:- <math>\lim_{x \to \infty}\frac{1+4/x+7/x^2+9/x^3} {1+3/x} = \frac{1} {1} = 1</math>
- <math>\lim_{x\to+\infty}{\frac{e^{x}}{x^{a}}}=\lim_{x\to+\infty}{\frac{e^{x}}{a\cdot x^{a-1}}}=\ldots=\lim_{x\to+\infty}{\frac{e^{x}}{a!}}=+\infty</math> — применение правила <math>a</math> раз;
- <math>\lim_{x\to+\infty}{\frac{x^{a}}{\ln{x}}}=\lim_{x\to+\infty}{\frac{ax^{a-1}}{\frac{1}{x}}}=a\cdot\lim_{x\to+\infty}{x^{a}}=+\infty</math> при <math>a>0</math>;
- <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\int\limits_{x}^{+\infty}e^{-t^2}dt}{x^{-1}e^{-x^2}} = \lim_{x\to+\infty}\frac{-e^{-x^2}}{-x^{-2}e^{-x^2}(1+2x^2)} = \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{1+2x^2} = \frac{1}{2}</math>.
Контрпример
В некоторых ситуациях правило Лопиталя может не дать ожидаемого результата, так как существование предела отношения производных <math>\lim\limits_{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}</math> не вытекает из существования предела отношения самих функций. Пример[3]:
- отношение <math>\frac{x+\sin(x)}{x}</math> имеет предел в бесконечности (единица), но у отношения производных предела нет.
Следствие
Простое, но полезное следствие правила Лопиталя — признак дифференцируемости функций, состоит в следующем:
Пусть функция <math>f(x)</math> дифференцируема в проколотой окрестности точки <math>a</math>, а в самой этой точке она непрерывна и имеет предел производной <math>\lim_{x\to a}f'(x) = A</math>. Тогда функция <math>f(x)</math> дифференцируема и в самой точке <math>a</math>, и <math>f'(a)=A</math> (то есть, производная <math>f'(x)</math> непрерывна в точке <math>a</math>).
Для доказательства достаточно применить правило Лопиталя к отношению <math>\frac{f(x)-f(a)}{x-a}</math>.
См. также
Аналогом правила Лопиталя для последовательностей вещественных чисел является Теорема Штольца.
Примечания
Литература
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Paul J. Nahin, An Imaginary Tale: The Story of <math>\sqrt{-1}</math>, p.216
- ↑ Шаблон:YouTube
