Русская Википедия:Правило Рунге
Правило Рунге — правило оценки погрешности численных методов, было предложено К. Рунге в начале 20 века.[1]
Основная идея (для методов Рунге-Кутты решения ОДУ) состоит в вычислении приближения выбранным методом с шагом h, а затем с шагом h/2, и дальнейшем рассмотрении разностей погрешностей для этих двух вычислений.
Применение правила Рунге
Оценка точности вычисления определённого интеграла
Интеграл вычисляется по выбранной формуле (прямоугольников, трапеций, парабол Симпсона) при числе шагов, равном n, а затем при числе шагов, равном 2n. Погрешность вычисления значения интеграла при числе шагов, равном 2n, определяется по формуле Рунге:
<math>\Delta_{2n} \approx \Theta |I_{2n}-I_{n}|</math>, для формул левых и правых прямоугольников <math>\Theta = 1</math>, для формул средних прямоугольников и трапеций <math>\Theta = \frac{1}{3}</math>, а для формулы Симпсона <math>\Theta = \frac{1}{15}</math>.[2] В общем случае <math>\Theta = { { 1 }\over {2^{p}-1} }</math>. Под <math>p</math> понимается порядок погрешности использованного численного метода.
Таким образом, интеграл вычисляется для последовательных значений числа шагов <math>N = n_0,2n_0,4n_0,\dots</math>, где <math>n_0</math> — начальное число шагов. Процесс вычислений заканчивается, когда для очередного значения N будет выполнено условие <math>\Delta_{2n} < \varepsilon</math>, где <math>\varepsilon</math> — заданная точность.
Оценка точности численного решения ОДУ
Также применяется для оценки точности решений обыкновенных дифференциальных уравнений на регулярных сетках. Для оценки требуется решить задачу на 2 сетках, один раз с шагом h (<math>y_{i,h}</math>) и второй — с шагом h/2 (<math>y_{i,h/2}</math>). Формула[3]
<math> { | y_{i,h} - y_{i,h/2} | }\over {2^{p}-1}</math>
дает погрешность решения <math>y_{i,h/2}</math>. Под <math>p</math> понимается порядок точности использованного численного метода. Например, для численного метода, имеющего четвёртый порядок точности, формула принимает вид:
<math> {1\over 15} | y_{i,h} - y_{i,h/2} | </math>
Примечания
Литература
- РУНГЕ ПРАВИЛО // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
- Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1, М., 1966; 2 изд., т. 2, М., 1962;
- Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1979. А. Б. Иванов.
Ссылки
- Осокин А. Е., 4.7 Правило Рунге оценки погрешности. Экстраполяция Ричардсона. Шаблон:Wayback // ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Шаблон:Wayback, Горно-Алтайский государственный университет, 2002
- ↑ Ivan P. Gavrilyuk, «2.4 A posteriori error estimation and automatic grid generation.» // Exact and Truncated Difference Schemes for Boundary Value ODEs, Springer, 2011, ISBN 9783034801072, pages 76-77: «The first possibility is the classic technique which has been proposed by Carl Runge.»
- ↑ Огородников А. С., Орлов О. В.,6. Правило Рунге оценки погрешности интегрирования Шаблон:Wayback // Лабораторная работа № 4. Численное интегрирование, Лабораторный практикум по курсу «Численные методы» (ЭНИН) Шаблон:Wayback, Томский политехнический университет
- ↑ П. В. Виноградова, А. Г. Ереклинцев, 8. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Шаблон:Wayback // ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Шаблон:Wayback, Дальневосточный государственный университет путей сообщения, 2011
