Русская Википедия:Правило Руффини
Правило Руффини — эффективная техника деления многочлена на бином вида <math>x - r.</math> В 1804 году её описал Паоло Руффини.[1] Правило Руффини — частный случай синтетического деления, когда делитель является линейным.
Алгоритм
Правило устанавливает метод для деления многочлена
- <math>P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0</math>
на бином
- <math>Q(x)=x-r</math>
для получения частного
- <math>R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0</math>;
На самом деле алгоритм осуществляет деление столбиком P(x) на Q(x).
Для того, чтобы поделить P(x) на Q(x) согласно данному алгоритму, нужно
- Взять коэффициенты P(x) и записать их по порядку. Затем записать r слева, непосредственно над линией:
- <math>
\begin{array}{c|c c c c c} & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0\\ r & & & & & \\ \hline & & & & & \\ & & & & & \\ \end{array} </math>
- Спустить крайний левый коэффициент (an) вниз, сразу под линию:
- <math>
\begin{array}{c|c c c c c} & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0\\ r & & & & & \\ \hline & a_n & & & & \\ & =b_{n-1}& & & & \\ \end{array} </math>
- Умножить крайнее правое число под линией на r и записать следующим его над линией:
- <math>
\begin{array}{c|c c c c c} & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0\\ r & & b_{n-1} r & & & \\ \hline & a_n & & & & \\ & =b_{n-1}& & & & \\ \end{array} </math>
- Сложить два значения, расположенные в одном столбце:
- <math>
\begin{array}{c|c c c c c} & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0\\ r & & b_{n-1} r & & & \\ \hline & a_n & a_{n-1}+(b_{n-1}r) & & & \\ & =b_{n-1}& =b_{n-2} & & & \\ \end{array} </math>
- Повторять шаги 3 и 4 пока есть числа:
- <math>
\begin{array}{c|c c c c c} & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0\\ r & & b_{n-1} r & & & \\ \hline & a_n & a_{n-1}+(b_{n-1}r) & \cdots & a_1 + b_1 r & a_0 + b_0 r \\ & =b_{n-1}& =b_{n-2} & \cdots & =b_0 & =s \\ \end{array} </math>
Числа bi являются коэффициентами частного (R(x)), степень которого на единицу меньше, чем степень P(x). Последнее полученное значение s - это остаток. Согласно теореме Безу, этот остаток равен P(r).
Использование
Деление на многочлен x - r
Рабочий пример деления многочленов по алгоритму, описанному выше.
Пусть:
- <math>P(x)=2x^3+3x^2-4,</math>
- <math>Q(x)=x+1.</math>
Мы хотим найти <math>P(x)/Q(x)</math> используя правило Руффини. Основная проблема в том, что <math>Q(x)</math> это не бином вида <math>x-r,</math>, а скорее <math>x+r.</math> Мы должны переписать его так:
- <math>Q(x)=x+1=x-(-1).</math>
Теперь применяем алгоритм:
1. Выписываем коэффициенты и число <math>r.</math> Заметим, что поскольку <math>P(x)</math> не содержит коэффициента <math>x^1,</math> мы записываем 0:
- <math>
\begin{array}{c|c c c c} & 2 & 3 & 0 & -4\\ -1 & & & & \\ \hline & & & & \\ & & & & \\ \end{array} </math>
2. Спускаем первый коэффициент:
- <math>
\begin{array}{c|c c c c} & 2 & 3 & 0 & -4\\ -1 & & & & \\ \hline & 2 & & & \\ \end{array} </math>
3. Умножаем последнее полученное значение <math>r:</math>
- <math>
\begin{array}{c|c c c c} & 2 & 3 & 0 & -4\\ -1 & & -2 & & \\ \hline & 2 & & & \\ \end{array} </math>
4. Складываем значения:
- <math>
\begin{array}{c|c c c c} & 2 & 3 & 0 & -4\\ -1 & & -2 & & \\ \hline & 2 & 1 & & \\ \end{array} </math>
5. Повторяем шаги 3 и 4:
- <math>
\begin{array}{c|c c c c} & 2 & 3 & 0 & -4\\ -1 & & -2 & -1 & 1\\ \hline & 2 & 1 & -1 & -3\\ \end{array} </math>
- <math> 2, 1, -1</math> — коэффициенты частного,
- <math>-3</math> — остаток.
Итак, поскольку исходное число = делитель × частное + остаток, тогда
- <math>P(x)=Q(x)R(x)+s</math>, где
- <math>R(x) = 2x^2+x-1,\ s=-3; \quad \Rightarrow 2x^3+3x^2-4 = (2x^2+x-1)(x+1) - 3.</math>
Ссылки
Примечания
