Русская Википедия:Правильные многомерные многогранники
Правильный n-мерный многогранник — многогранники n-мерного евклидова пространства, которые являются наиболее симметричными в некотором смысле. Правильные трёхмерные многогранники называются также платоновыми телами.
История
Классификация правильных многомерных многогранников была получена Людвигом Шлефли.[1]
Определение
Флагом n-мерного многогранника <math>P</math> называется набор его граней <math>F=(F_0,F_1,\dots,F_{n-1})</math>, где <math>F_i</math> есть <math>i</math>-мерная грань многогранника Р, причем <math>F_i \subseteq F_{n-1}</math> для <math>i= 1, 2,\dots,n-1</math>.
Правильный n-мерный многогранник — это выпуклый n-мерный многогранник <math>P</math>, у которого для любых двух его флагов <math>F</math> и <math>F'</math> найдётся движение <math>P</math>, переводящее <math>F</math> в <math>F'</math>.
Классификация
Размерность 4
Существует 6 правильных четырёхмерных многогранников (многоячейников):
| Название | Изображение (диаграмма Шлегеля) |
Символ Шлефли |
Ячейка | Число ячеек |
Число граней |
Число рёбер |
Число вершин |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Пятиячейник | Файл:Schlegel wireframe 5-cell.png | {3,3,3} | правильный тетраэдр |
5 | 10 | 10 | 5 |
| Тессеракт | Файл:Schlegel wireframe 8-cell.png | {4,3,3} | куб | 8 | 24 | 32 | 16 |
| Шестнадцатиячейник | Файл:Schlegel wireframe 16-cell.png | {3,3,4} | правильный тетраэдр |
16 | 32 | 24 | 8 |
| Двадцатичетырёхячейник | Файл:Schlegel wireframe 24-cell.png | {3,4,3} | октаэдр | 24 | 96 | 96 | 24 |
| Стодвадцатиячейник | Файл:Schlegel wireframe 120-cell.png | {5,3,3} | додекаэдр | 120 | 720 | 1200 | 600 |
| Шестисотячейник | Файл:Schlegel wireframe 600-cell vertex-centered.png | {3,3,5} | правильный тетраэдр |
600 | 1200 | 720 | 120 |
Размерности 5 и выше
В каждой из более высоких размерностей существует по 3 правильных многогранника (политопа):
| Название | Символ Шлефли |
|---|---|
| n-мерный правильный симплекс |
{3;3;...;3;3} |
| n-мерный гиперкуб |
{4;3;...;3;3} |
| n-мерный гипероктаэдр |
{3;3;...;3;4} |
Геометрические свойства
Углы
Двугранный угол между (n-1)-мерными смежными гранями правильного n-мерного многогранника, заданного своим символом Шлефли <math> \{p_1, p_2, p_3, \dots, p_{N-3}, p_{N-2}, p_{N-1}\} </math>, определяется по формуле[2][3][4]:
- <math> \sin^2\beta=\frac{\cos^2\frac{\pi}{p_{n-1}}}{1-\frac{\cos^2\frac{\pi}{p_{n-2}}}{1-\frac{\cos^2\frac{\pi}{p_{n-3}}}{\frac{\ddots}{1-\frac{\cos^2\frac{\pi}{p_3}}{1-\frac{\cos^2\frac{\pi}{p_2}}{1-\cos^2\frac{\pi}{p_1}}}}}}} </math>
где <math>\beta</math> — половина угла между (n-1)-мерными смежными гранями правильного n-мерного многогранника
Радиусы, объёмы
Радиус вписанной N-мерной сферы:
- <math>r_N=r_{N-1} \operatorname{tg} {\beta},</math>
где <math>r_{N-1}</math> — радиус вписанной (N-1)-мерной сферы грани.
Объём N-мерного многогранника:
- <math>V_N=\frac{1}{N}V_{N-1}A_{N-1}r_N,</math>
где <math>V_{N-1}</math> — объём (N-1)-мерной грани, <math>A_{N-1}</math> — количество (N-1)-мерных граней.
Замощения
В размерности n = 4
- [[|en]] (Tesseractic honeycomb)
- [[|en]] (16-cell honeycomb)
- [[|en]] (24-cell honeycomb)
В размерности n ≥ 5
См. также
Примечания
Ссылки
Шаблон:Многогранники Шаблон:Основные выпуклые правильные и однородные политопы в размерностях 2-10 Шаблон:Rq
- ↑ Schläfli, L. (1901). "Theorie der vielfachen Kontinuität". Denkschriften der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft. 38: 1–237.
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
- ↑ Шаблон:Книга
