Русская Википедия:Правильный семнадцатиугольник
Пра́вильный семнадцатиуго́льник — геометрическая фигура, принадлежащая к группе правильных многоугольников. Он имеет семнадцать сторон и семнадцать углов, все его углы и стороны равны между собой, все вершины лежат на одной окружности. Среди других правильных многоугольников с больши́м (больше пяти) простым числом сторон интересен тем, что его можно построить при помощи циркуля и линейки (так, семи-, одиннадцати- и тринадцатиугольники построить циркулем и линейкой нельзя).
Свойства
Центральный угол α равен <math>\frac{360^\circ}{17} \approx 21{,}17647059^\circ</math>.
Отношение длины стороны к радиусу описанной окружности составляет
- <math>s = 2 \cdot r_u \cdot \sin \left( \frac{\alpha}{2} \right) \approx r_u \cdot 0{,}3675.</math>
Правильный семнадцатиугольник можно построить при помощи циркуля и линейки, что было доказано Гауссом в монографии «Арифметические исследования» (1796 год). Им же найдено значение косинуса центрального угла семнадцатиугольника:
- <math>\cos \frac{360^\circ}{17} = \frac{1}{16} \left( -1 + \sqrt{17} + \sqrt{ 2 \left(17- \sqrt{17} \right)}
+ 2 \sqrt{ 17 + 3 \sqrt{17} - \sqrt{2 \left(17- \sqrt{17} \right)} - 2 \sqrt{2 \left(17+ \sqrt{17} \right)} } \right).</math>
В этой же работе Гаусс доказал, что если нечётные простые делители числа n являются различными простыми Ферма (числа Ферма), то есть простыми числами вида <math>F_m=2^{2^m}+1,</math> то правильный n-угольник может быть построен с помощью циркуля и линейки (см. Теорема Гаусса — Ванцеля).
Факты
- Гаусс был настолько воодушевлён своим открытием, что в конце жизни завещал, чтобы правильный семнадцатиугольник высекли на его могиле. Скульптор отказался это сделать, утверждая, что построение будет настолько сложным, что результат нельзя будет отличить от окружности.
- В 1893 году Шаблон:Нп5 опубликовал явное описание построения правильного семнадцатиугольника в 64 шагах. Ниже приводится это построение.
Построение
Точное построение
- Проводим большую окружность k₁ (будущую описанную окружность семнадцатиугольника) с центром O.
- Проводим её диаметр AB.
- Строим к нему перпендикуляр m, пересекающий k₁ в точках C и D.
- Отмечаем точку E — середину DO.
- Посередине EO отмечаем точку F и проводим отрезок FA.
- Строим биссектрису w₁ угла ∠OFA.
- Строим w₂ — биссектрису угла между m и w₁, которая пересекает AB в точке G.
- Восстанавливаем s — перпендикуляр к w₂ из точки F.
- Строим w₃ — биссектрису угла между s и w₂. Она пересекает AB в точке H.
- Строим окружность Фалеса (k₂) на диаметре HA с центром в точке M. Она пересекается с CD в точках J и K.
- Проводим окружность k₃ с центром G через точки J и K. Она пересекается с AB в точках L и N. Здесь важно не перепутать N с M, они расположены очень близко.
- Строим касательную к k₃ через N.
Точки пересечения этой касательной с исходной окружностью k₁ — это точки P₃ и P₁₄ искомого семнадцатиугольника. Если принять середину получившейся дуги за P₀ и отложить дугу P₀P₁₄ по окружности три раза, все вершины семнадцатиугольника будут построены.
Примерное построение
Следующее построение хоть и приблизительно, но гораздо более удобно.
- Ставим на плоскости точку M, строим вокруг неё окружность k и проводим её диаметр AB;
- Делим пополам радиус AM три раза по очереди по направлению к центру (точки C, D и E).
- Делим пополам отрезок EB (точка F).
- строим перпендикуляр к AB в точке F.
- Вкратце: строим перпендикуляр к диаметру на расстоянии 9/16 диаметра от B.
Точки пересечения последнего перпендикуляра с окружностью являются хорошим приближением для точек P₃ и P₁₄.
При этом построении получается относительная ошибка в 0,83%. Углы и стороны получаются таким образом немного больше, чем нужно. При радиусе 332,4 мм сторона получается длиннее на 1 мм.
Анимированное построение Эрхингера
Звёздчатые формы
У правильного семнадцатиугольника существуют 7 правильных звёздчатых форм.
-
{17/2}
-
{17/3}
-
{17/4}
-
{17/5}
-
{17/6}
-
{17/7}
-
{17/8}
См. также
Ссылки
- Karin Reich. Die Entdeckung und frühe Rezeption der Konstruierbarkeit des regelmäßigen 17-Ecks und dessen geometrische Konstruktion durch Johannes Erchinger (1825). // В кн.: Mathesis, Festschrift zum siebzigsten Geburtstag von Matthias Schramm. Hrsg. von Rüdiger Thiele, Berlin, Diepholz 2000, стр. 101—118.
- Шаблон:MathWorld
Шаблон:Многоугольники Шаблон:Символ Шлефли
