Русская Википедия:Правильный треугольник
Правильный (равносторонний, или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами, простейший из правильных многоугольников. Все стороны правильного треугольника равны между собой, все углы также равны и составляютШаблон:Nbsp60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.
Свойства
Пусть Шаблон:Math — сторона правильного треугольника, Шаблон:Math — радиус описанной окружности, Шаблон:Math — радиус вписанной окружности.
- Радиус вписанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону:
- <math>r = \frac{\sqrt 3}{6} a </math>
- Радиус описанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону:
- <math>R = \frac{\sqrt 3}{3} a </math>
- Периметр правильного треугольника:
- <math>P = 3a = 3 \sqrt 3 R = 6 \sqrt 3 r</math>
- Высоты, медианы и биссектрисы правильного треугольника:
- <math>h = m = l = \frac{\sqrt 3}{2} a</math>
- Площадь правильного треугольника рассчитывается по формулам:
- <math>S = \frac{\sqrt 3}{4} a^2 = \frac{3 \sqrt 3}{4} R^2 = 3 \sqrt 3 r^2 = \frac{\sqrt 3}{36} P^2</math>
- Радиус описанной окружности равен двойному радиусу вписанной окружности:
- <math>R = 2r</math>
- Правильными треугольниками можно замостить плоскость.
- В правильном треугольнике окружность девяти точек совпадает с вписанной окружностью.
- Для равностороннего треугольника Шаблон:Math группа движений (самосовмещений) плоскости, переводящих треугольник в себя, состоит из Шаблон:Num: трёх поворотов на углы 0, Шаблон:Дробь и Шаблон:Дробь вокруг точки Шаблон:Math, а также трёх симметрий относительно трёх прямых, на которых лежат биссектрисы треугольника (последние являются также его высотами и медианами).
- На описанной окружности произвольного треугольника <math>ABC</math> существуют ровно три точки такие, что их прямая Симсона касается окружности Эйлера треугольника <math>ABC</math>, причём эти точки образуют правильный треугольник. Стороны этого треугольника параллельны сторонам треугольника Морлея.
- Равносторонний треугольник является одновременно и равноугольным треугольником, то есть у него равны все внутренние углы.
- Равносторонний треугольник является частными случаем равнобедренного треугольника, а именно: дважды равнобедренным треугольником.
Правильный сферический треугольник
Для любого значения в интервале от 60 до 180 градусов существует правильный сферический треугольник с равными этому значению углами.
Теоремы о равностороннем треугольнике или содержащие его
- Задача Наполеона
- Прямая Симсона одно из свойств
- Теорема Вивиани
- Теорема Морли
- Теорема Наполеона
- Теорема Помпею
- Теоремы Тебо 2 и 3
- Точки Аполлония
- Точки Торричелли
См. также
- Замечательные прямые треугольника
- Замечательные точки треугольника
- Равнобедренный треугольник
- Теорема Чевы
- Треугольник
- Треугольник Рёло
Примечания
Шаблон:Викисловарь Шаблон:Geometry-stub Шаблон:Нет ссылок
Шаблон:Треугольник Шаблон:Символ Шлефли
