Русская Википедия:Правильный четырёхмерный многогранник
Правильные четырёхмерные многогранники являются четырёхмерными аналогами правильных многогранников в трёхмерном пространстве и правильных многоугольников на плоскости.
Правильные 4-мерные многогранники впервые были описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19-го века, хотя полное множество было открыто много позже.
Существует шесть выпуклых и десять звёздчатых правильных 4-мерных многогранников, в общей сумме шестнадцать.
История
Выпуклые 4-мерные многогранники впервые были описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19-го века. Шлефли обнаружил, что существует ровно шесть таких тел.
Шлефли нашёл также четыре правильных звёздчатых 4-мерных многогранника Шаблон:Не переведено 5, Шаблон:Не переведено 5, Шаблон:Не переведено 5 и большой великий звёздчатый стодвадцатиячейник. Он пропустил оставшиеся шесть, поскольку он не разрешал нарушения эйлеровой характеристики на ячейках или вершинных фигурах (F − E + V = 2). Это исключает ячейки и вершинные фигуры, такие как {5,5/2} и {5/2,5}.
Эдмунд Гесс (1843–1903) опубликовал полный список в своей книге на немецком Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder (Введение в учение о делении поверхности шара с особым учётом его применения в теории равногранных и равноугольных многогранников) в 1883.
Построение
Существование правильного 4-мерного многогранника <math>\{p,q,r\}</math> ограничено существованием правильных (3-мерных) многогранников <math>\{p,q\}, \{q,r\}</math>, которые образуют его ячейки и ограничивают двугранный угол
- <math>\sin\left(\frac{\pi}{p}\right) \sin\left(\frac{\pi}{r}\right) < \cos\left(\frac{\pi}{q}\right), </math>
чтобы ячейки представляли собой замкнутые 3-мерные поверхности.
Шесть выпуклых и десять звёздчатых многогранников, описываемых здесь, авляются единственными решениями, удовлетворяющими ограничениям.
Существует четыре невыпуклых символа Шлефли {p,q,r}, имеющие допустимые ячейки {p,q} и вершинные фигуры {q,r}, которые проходят тест на диэдральный угол, но которые не дают конечные фигуры — {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2}.
Правильные выпуклые 4-мерные многогранники
Правильные выпуклые 4-мерные многогранники являются четырёхмерными аналогами платоновых тел в трёхмерном пространстве и выпуклых правильных многоугольников в двумерном.
Пять из них можно понимать как близкие аналоги платоновых тел. Существует одна дополнительная фигура, двадцатичетырёхъячейник, которая не имеет близкого трёхмерного эквивалента.
Каждый выпуклый правильный 4-мерный многогранник ограничен множеством 3-мерных Шаблон:Не переведено 5, которые являются платоновыми телами одного типа и размера. Ячейки соприкасаются друг с другом по граням, образуя правильную структуру.
Свойства
Следующие таблицы перечисляют некоторые свойства шести выпуклых правильных 4-мерных многогранников. Группы симметрии этих 4-мерных многогранников все являются группами Коксетера и даны в данной статье. Число, следующее за названием группы, равно порядку группы.
| Имена | Рисунок | Семейство | Шлефли Коксетер |
Вершин | Рёбра | Грани | Шаблон:Не переведено 5 | Верш. фигура |
Двой- ственный |
Группа симметрии | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| пятиячейник пятигранник 4-симплекс |
Файл:4-simplex t0.svg | n-симплекс (Семейство An) |
{3,3,3} Шаблон:CDD |
5 | 10 | 10 {3} |
5 {3,3} |
{3,3} | (самодвой- ственный) |
A4 [3,3,3] |
120 |
| восьмиячейник тессеракт 4-куб |
Файл:4-cube t0.svg | n-куб (Семейство Bn) |
{4,3,3} Шаблон:CDD |
16 | 32 | 24 {4} |
8 {4,3} |
{3,3} | 16-ячейник | B4 [4,3,3] |
384 |
| шестнадцатиячейник 4-ортоплекс |
Файл:4-cube t3.svg | n-ортоплекс (Семейство Bn) |
{3,3,4} Шаблон:CDD |
8 | 24 | 32 {3} |
16 {3,3} |
{3,4} | 8-ячейник | B4 [4,3,3] |
384 |
| двадцатичетырёхъячейник октаплекс полиоктаэдр (pO) |
Файл:24-cell t0 F4.svg | Семейство Fn | {3,4,3} Шаблон:CDD |
24 | 96 | 96 {3} |
24 {3,4} |
{4,3} | (самодвой- ственный) |
F4 [3,4,3] |
1152 |
| стодвадцатиячейник додекаконтихорон додекаплекс полидодекаэдр (pD) |
Файл:120-cell graph H4.svg | n-пятиугольный многогранник (Семейство Hn) |
{5,3,3} Шаблон:CDD |
600 | 1200 | 720 {5} |
120 {5,3} |
{3,3} | 600-ячейник | H4 [5,3,3] |
14400 |
| шестисотъячейник тетраплекс политетраэдр (pT) |
Файл:600-cell graph H4.svg | n-пятиугольный многогранник (Семейство Hn) |
{3,3,5} Шаблон:CDD |
120 | 720 | 1200 {3} |
600 {3,3} |
{3,5} | 120-ячейник | H4 [5,3,3] |
14400 |
Джон Конвей является сторонником имён симплекс, ортоплекс, тессеракт, октаплекс или полиоктаэдр (pO), додекаплекс или полидодекаэдр (pD) и тетраплекс или политетраэдр (pT) Шаблон:Sfn.
Норман Джонсон является сторонником имён n-ячейник или пентахорон, тессеракт или октахорон, гексадекахорон, икоситетрахорон, гекатоникосаэдр (или додекаконтахорон) и гексакосихорон. [1][2][3]
Характеристика Эйлера для всех 4-мерных многогранников равна нулю. Имеется 4-мерный аналог формулы Эйлера для многогранников:
- <math>N_0 - N_1 + N_2 - N_3 = 0</math>
где Nk означает число k-граней в многограннике (вершина является 0-гранью, ребро является 1-гранью, и т.д.).
Визуализация
Следующая таблица показывает некоторые 2-мерные проекции 4-мерных многогранников. Различные другие визуализации можно найти во внешних ссылках. Графы диаграмм Коксетера — Дынкина также даны ниже символа Шлефли.
Правильные звёздчатые 4-мерные многогранники (Шлефли–Гесса)
Четырёхмерные многогранники Шлефли–Гесса — полный список десяти правильных самопересекающихся звёздчатых четырёхмерных многогранников [4]. Многогранники названы по именам открывателей — Людвига Шлефли и Эдмунда Гесса. Каждый многогранник представлен символом Шлефли {p,q,r}, в котором одно из чисел — 5/2. Многогранники аналогичны правильным невыпуклым многогранникам Кеплера — Пуансо.
Имена
Имена, приведённые здесь, даны Джоном Конвеем и расширяют имена Кэли для многогранников Кеплера — Пуансо — к модификаторам stellated (звёздчатый) и great (большой) он добавил grand (великий). Конвей определил следующие операции:
- stellation (образование звёздчатой формы) заменяет рёбра на более длинные на тех же прямых. (Пример — пятиугольник преобразуется в пентаграмму)
- greatening (увеличение) заменяет грани на грани большего размера на тех же плоскостях. (Пример — икосаэдр увеличивается в большой икосаэдр)
- aggrandizement (возвеличивание) заменяет ячейки большими в тех же 3-мерных пространствах. (Пример — 600-cell возвеличивается в Шаблон:Не переведено 5)
Имена по Конвею для 10 форм из 3 4-мерных многогранников с правильными ячейками — pT=polytetrahedron (политетраэдр) {3,3,5} (тетраэдральный шестисотячейник), pI=polyicoshedron (полиикосаэдр) {3,5,5/2} (Шаблон:Не переведено 5) и pD=polydodecahedron (полидодекаэдр) {5,3,3} (додекаэдральный стодвадцатиячейник) с модифицирующими приставками g, a и s для great (большой), grand (великий) и stellated (звёздчатый). Конечная звёздчатая форма, great grand stellated polydodecahedron (большой великий звёздчатый полидодекаэдр), тогда получит обозначение gaspD.
Симметрия
Все десять полихоров имеют [3,3,5] (H4) Шаблон:Не переведено 5. Они генерируются шестью связанными группами симметрии рационального порядка тетраэдров Гурса — [3,5,5/2], [5,5/2,5], [5,3,5/2], [5/2,5,5/2], [5,5/2,3] и [3,3,5/2].
Каждая группа имеет 2 правильных звёздчатых многогранников, за исключением двух самодвойственных групп, содержащих по одному многограннику. Таким образом, имеется 4 двойственные пары и 2 самодвойственные формы среди десяти правильных звёздчатых многогранников.
Свойства
Примечание:
- Существует два уникальных Шаблон:Не переведено 5, встречающихся в стодвадцатиячейнике и шестисотъячейнике.
- Существует четыре уникальных Шаблон:Не переведено 5, которые показаны как каркасы ортографических проекций.
- Существует семь уникальных Шаблон:Не переведено 5, показанные как тела (с цветными гранями) ортографических проекций.
Ячейки (3-мерные многогранники), их грани (многоугольники), многоугольные Шаблон:Не переведено 5 и многогранная вершинные фигуры представлены их символами Шлефли.
См. также
- Правильные многомерные многогранники
- Список правильных многогранников и соединений
- Бесконечные правильные 4-мерные многогранники:
- Правильные евклидовы соты: {4,3,4}
- Четыре компактных правильных гиперболических сот: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}
- Одиннадцать паракомпактных правильных гиперболических сот: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5}, and {6,3,6}.
- Абстрактные правильные 4-мерные многогранники:
- Одиннадцатиячейник {3,5,3}
- Шаблон:Не переведено 5 {5,3,5}
- Семейства Шаблон:Не переведено 5, построенные на основе этих 6 правильных форм.
- Платоновы тела
- Тело Кеплера — Пуансо – правильные звёздчатые многогранники
- Звёздчатый многоугольник – правильные звёздчатые многоугольники
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Dover Publications, 1958
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- (Paper 10) H.S.M. Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
Ссылки
- Шаблон:Mathworld
- Jonathan Bowers, 16 regular 4-polytopes Шаблон:Wayback
- Regular 4D Polytope Foldouts
- Catalog of Polytope Images Шаблон:Wayback A collection of stereographic projections of 4-polytopes.
- A Catalog of Uniform Polytopes Шаблон:Wayback
- Dimensions Шаблон:Wayback 2 hour film about the fourth dimension (contains stereographic projections of all regular 4-polytopes)
- Шаблон:Не переведено 5 Hecatonicosachoron] на Glossary for Hyperspace
- Шаблон:Не переведено 5 Hexacosichoron] на Glossary for Hyperspace
- Шаблон:Не переведено 5 Stellation] на Glossary for Hyperspace
- Шаблон:Не переведено 5 Greatening] на Glossary for Hyperspace
- Шаблон:Не переведено 5 Aggrandizement] на Glossary for Hyperspace
- Reguläre Polytope
- The Regular Star Polychora
Шаблон:Правильные четырёхмерные многогранники Шаблон:Многогранники
- ↑ Джонсон предложил также термин полихорон для названия 4-мерных многогранников как аналог трёхмерных многогранников (polyhedron) и двумерных многоугольников (polygon) как производная от греческих слов πολύ ("много") и χώρος ("пространство", "помещение")
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Johnson (2015), Chapter 11, Section 11.5 Spherical Coxeter groups
- ↑ Coxeter, Star polytopes and the Schläfli function f{α,β,γ) p. 122 2. The Schläfli-Hess polytopes
