Русская Википедия:Предел Бекенштейна

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

В физике, предел Бекенштейна — это верхний предел энтропии S, или количества информации I, которые могут содержаться в заданной ограниченной области пространства, имеющей конечное количество энергии; либо, с другой стороны, максимальное количество информации, необходимое для идеального описания заданной физической системы вплоть до квантового уровня[1]. Это подразумевает, что информация о физической системе, или информация, необходимая для идеального описания системы, должна быть конечной, если система занимает конечное пространство и имеет конечную энергию. С точки зрения информатики это означает, что имеется максимум скорости обработки информации (предел Бремерманна) для физической системы, которая имеет конечные размеры и энергию, и что машина Тьюринга с конечными физическими размерами и неограниченной памятью физически нереализуема.

Бекенштейн показал, что максимум энтропии, связанный с телом, достигается при превращении его в чёрную дыру[2]. Другими словами, при достижении предела Бекенштейна носитель информации совершает гравитационный коллапс, превращаясь в чёрную дыру[3][4].

Формулы

Универсальная формулировка ограничения была первоначально открыта Яаковом Бекенштейном как неравенство

<math>S \leqslant \frac{2 \pi k R E}{\hbar c},</math>

где S — энтропия, k — постоянная Больцмана, R — радиус сферы, охватывающей данную систему, Е — суммарная масса-энергия, включая массу покоя, ħ — приведённая постоянная Планка, а c — скорость света. Несмотря на существенную роль гравитации, выражение не содержит гравитационной постоянной G.

В применении к информации, ограничение формулируется в виде

<math>I \leqslant \frac{2 \pi R E}{\hbar c \ln 2},</math>

где I — количество информации, выраженное как число битов, содержащихся в квантовых состояниях в сфере. Множитель ln 2 происходит от определения количества информации как логарифма по основанию 2 от числа квантовых состояний (<math>I = log_2 O</math>)[5]. Используя эквивалентность массы и энергии, информационный предел может быть переформулирован как

<math>I \leqslant \frac{2 \pi c R m}{\hbar \ln 2} \approx 2{,}5769082 \cdot 10^{43} m R,</math>

где m — масса системы в килограммах, а радиус R выражен в метрах.

Происхождение

Бекенштейн вывел предел, исходя из эвристических аргументов, касающихся чёрных дыр. Если существует система, нарушающая предел, то есть имеющая избыток энтропии, тогда, как утверждал Бекенштейн, можно было бы нарушить второй закон термодинамики, опустив систему в чёрную дыру. В 1995 году Тед Джекобсон показал, что уравнения Эйнштейна (уравнения гравитационного поля в общей теории относительности) могут быть выведены из предположения об истинности предела Бекенштейна и законов термодинамики[6][7]. Однако, несмотря на ряд предложенных аргументов, которые показывали, что в той или иной форме предел неизбежно должен существовать для взаимной непротиворечивости законов термодинамики и общей теории относительности, точная формулировка предела была предметом дискуссий[8][9][10][11][12][13][14][15][16][17][18].

Примеры

Чёрные дыры

Вычисляемая по формуле Бекенштейна и Хокинга энтропия трёхмерных чёрных дыр точно насыщает предел Бекенштейна:

<math>r_s = \frac{2 G M}{c^2},</math>
<math>A = 4 \pi r_s^2 = \frac{16 \pi G^2 M^2}{c^4},</math>
<math>l_P^2 = \hbar G/c^3,</math>
<math>S =\frac{kA}{4 l_P^2} = \frac{4 \pi k G M^2}{\hbar c},</math>

где k — постоянная Больцмана, A — двумерная площадь горизонта событий чёрной дыры в единицах планковской длины, <math>l_P^2 = \hbar G/c^3</math>.

Предел тесно связан с термодинамикой чёрных дыр, голографическим принципом и голографическим пределом Буссо в квантовой гравитации и может быть выведен из предполагаемой сильной формы последнего.

Человеческий мозг

В среднем человеческий мозг обладает массой 1,5 кг и объёмом 1,26 л. Если мозг аппроксимировать сферой, её радиус будет 6,7 см.

Предел Бекенштейна для количества информации в таком случае составит около <math>2{,}6 \cdot 10^{42}</math> бит, что представляет максимальное количество информации, необходимое для полного воссоздания среднего человеческого мозга вплоть до квантового уровня, а количество <math>O = 2^I</math> квантовых состояний человеческого мозга должно быть примерно <math>10^{7{,}8 \cdot 10^{41}}</math>.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Jacob D. Bekenstein, «Universal upper bound on the entropy-to-energy ratio for bounded systems», Physical Review D, Vol. 23, No. 2, (January 15, 1981), pp. 287—298, Шаблон:Doi, Шаблон:Bibcode. Mirror link.
  2. ↑ Шаблон:Статья
  3. ↑ Шаблон:Cite web
  4. ↑ Шаблон:Книга
  5. ↑ Frank J. Tipler, The structure of the world from pure numbers // Reports on Progress in Physics, Vol. 68, No. 4 (April 2005), pp. 897—964, Шаблон:Doi, Шаблон:Bibcode, p. 902. Mirror link. Also released as Feynman-Weinberg Quantum Gravity and the Extended Standard Model as a Theory of Everything // Шаблон:Arxiv, April 24, 2007, p. 8.
  6. ↑ Ted Jacobson. Thermodynamics of Spacetime: The Einstein Equation of State // Physical Review Letters, Vol. 75, Issue 7 (August 14, 1995), pp. 1260—1263, Шаблон:Doi, Шаблон:Bibcode. Also at Шаблон:Arxiv, April 4, 1995. Also available here Шаблон:Wayback and here Шаблон:Wayback. Additionally available as an entry Шаблон:Архивированоin the Research Foundation's 1995 essay competition. .
  7. ↑ Lee Smolin. Three Roads to Quantum Gravity. — New York, N.Y.: Basic Books. — 2002. — p. 173, 175.
  8. ↑ Jacob D. Bekenstein. How Does the Entropy/Information Bound Work? // Foundations of Physics, Vol. 35, No. 11 (November 2005), p. 1805—1823, Шаблон:Doi, Шаблон:Bibcode. Also at Шаблон:Arxiv, April 7, 2004.
  9. ↑ Jacob D. Bekenstein. Bekenstein bound Шаблон:Wayback // en:Scholarpedia Scholarpedia, Vol. 3, No. 10 (October 31, 2008), p. 7374, Шаблон:Doi.
  10. ↑ Raphael Bousso. Holography in general space-times // Journal of High Energy Physics, Vol. 1999, Issue 6 (June 1999), Art. No. 28, 24 pages, Шаблон:Doi, Шаблон:Bibcode. Mirror link. Also at Шаблон:Arxiv, 3 June 1999.
  11. ↑ Raphael Bousso. A covariant entropy conjecture // Journal of High Energy Physics, Vol. 1999, Issue 7 (July 1999), Art. No. 4, 34 pages, Шаблон:Doi, Шаблон:Bibcode. Mirror link. Also at Шаблон:Arxiv, 24 May 1999.
  12. ↑ Raphael Bousso. The holographic principle for general backgrounds // Classical and Quantum Gravity, Vol. 17, No. 5 (March 7, 2000), p. 997—1005, Шаблон:Doi, Шаблон:Bibcode. Also at Шаблон:Arxiv, 2 November 1999.
  13. ↑ Jacob D. Bekenstein. Holographic bound from second law of thermodynamics // Physics Letters B, Vol. 481, Issues 2-4 (May 25, 2000), p. 339—345, Шаблон:Doi, Шаблон:Bibcode. Also at Шаблон:Arxiv, 8 March 2000.
  14. ↑ Raphael Bousso. The holographic principle // Reviews of Modern Physics, Vol. 74, No. 3 (July 2002), p. 825—874, Шаблон:Doi, Шаблон:Bibcode. Mirror link. Also at Шаблон:Arxiv, 12 March 2002.
  15. ↑ Jacob D. Bekenstein. Information in the Holographic Universe: Theoretical results about black holes suggest that the universe could be like a gigantic hologram // Scientific American, Vol. 289, No. 2 (August 2003), p. 58—65. Mirror link.
  16. ↑ Raphael Bousso, Éanna É. Flanagan, Donald Marolf. Simple sufficient conditions for the generalized covariant entropy bound // Physical Review D, Vol. 68, Issue 6 (15 September 2003), Art. No. 064001, 7 pages, Шаблон:Doi, Шаблон:Bibcode. Also at Шаблон:Arxiv, 19 May 2003.
  17. ↑ Jacob D. Bekenstein. Black holes and information theory // Contemporary Physics, Vol. 45, Issue 1 (January 2004), p. 31—43, Шаблон:Doi, Шаблон:Bibcode. Also at Шаблон:Arxiv, 9 November 2003. Also at Шаблон:Arxiv, 9 November 2003.
  18. ↑ Frank J. Tipler. The structure of the world from pure numbers // Reports on Progress in Physics, Vol. 68, No. 4 (April 2005), p. 897—964, Шаблон:Doi, Шаблон:Bibcode. Mirror link. Also released as Feynman-Weinberg Quantum Gravity and the Extended Standard Model as a Theory of Everything // Шаблон:Arxiv, 24 April 2007. Tipler gives a number of arguments for maintaining that Bekenstein’s original formulation of the bound is the correct form. See in particular the paragraph beginning with «A few points …» on p. 903 of the Rep. Prog. Phys. article (or p. 9 of the arXiv version), and the discussions on the Bekenstein bound that follow throughout the article.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Предел_Бекенштейна&oldid=10638496