Русская Википедия:Предикат
- О предикатах в виноделии см. вина с предикатом
Предика́т (Шаблон:Lang-la «заявленное, упомянутое, сказанное») — это утверждение, высказанное о субъекте. Субъектом высказывания называется то, о чём делается утверждение.
Предикат в программировании — выражение, использующее одну или более величину с результатом логического типа.
Далее в этой статье слово предикат используется в значении высказывательной формы.
Определение
Предика́т (<math>n</math>-местный, или <math>n</math>-арный) — это функция с множеством значений <math>\{ 0,1 \}</math> (или {ложь, истина}), определённая на множестве <math>M={{M}_{1}}\times {{M}_{2}}\times \ldots \times {{M}_{n}}</math>. Таким образом, каждый набор элементов множества <math>M</math> характеризуется либо как «истинный», либо как «ложный».
Предикат можно связать с математическим отношением: если кортеж <math>(m_1, m_2,\dots, m_n)</math> принадлежит отношению, то предикат будет возвращать на нём 1. В частности, одноместный предикат определяет отношение принадлежности некоторому множеству.
Предикат — один из элементов логики первого и высших порядков. Начиная с логики второго порядка, в формулах можно ставить кванторы по предикатам.
Предикат называют тождественно-истинным и пишут:
- <math> P\left ( x_1, ..., x_n \right) \equiv 1 </math>
если на любом наборе аргументов он принимает значение <math>1</math>.
Предикат называют тождественно-ложным и пишут:
- <math> P\left ( x_1, ..., x_n \right) \equiv 0 </math>
если на любом наборе аргументов он принимает значение <math>0</math>.
Предикат называют выполнимым, если хотя бы на одном наборе аргументов он принимает значение <math>1</math>.
Так как предикаты принимают только два значения, то к ним применимы все операции булевой алгебры, например: отрицание, импликация, конъюнкция, дизъюнкция и т. д.
Примеры
Обозначим предикатом <math>EQ(x, y)</math> отношение равенства («<math>x = y</math>»), где <math>x, y \in \mathbb{R}</math>. В этом случае предикат <math>EQ</math> будет принимать истинное значение для всех равных <math>x</math> и <math>y</math>.
Более житейским примером может служить предикат ПРОЖИВАЕТ<math>(x, y, z)</math> для отношения «<math>x</math> проживает в городе <math>y</math> на улице <math>z</math>» или ЛЮБИТ<math>(x, y)</math> для «<math>x</math> любит <math>y</math>» для <math>x</math> и <math>y</math> принадлежащих <math>M</math> , где множество <math>M</math> — это множество всех людей.
Предикат — это то, что утверждается или отрицается о субъекте суждения.
Операции над предикатами
Предикаты, так же, как высказывания, принимают два значения: истинное и ложное, поэтому к ним применимы все операции логики высказываний. Рассмотрим применение операций логики высказываний к предикатам на примерах одноместных предикатов.
Логические операции
Конъюнкцией двух предикатов A(x) и B(x) называется новый предикат <math>A\left( x \right)\wedge B\left( x \right)</math>, который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях х из Т, при которых каждый из предикатов принимает значение «истина», и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях. Множеством истинности Т предиката <math>A\left( x \right)\wedge B\left( x \right)</math> является пересечение множеств истинности предикатов A(x) — T1 и B(x) — T2, то есть T = T1 ∩ T2. Например: A(x): «x — чётное число», B(x): «x кратно 3». A(x) B(x) — «x — чётное число и x кратно 3». То есть предикат «x делится на 6».
Дизъюнкцией двух предикатов A(x) и B(x) называется новый предикат <math>A\left( x \right)\vee B\left( x \right)</math>, который принимает значение «ложь» при тех и только тех значениях x из Т, при которых каждый из предикатов принимает значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях. Областью истинности Т предиката <math>A\left( x \right)\vee B\left( x \right)</math> является объединение областей истинности предикатов A(x) — Т1 и B(x) — Т2, то есть Т = Т1 ⋃ Т2.
Отрицанием предиката A(x) называется новый предикат ¬A(x), который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях x из T, при которых предикат A(x) принимает значение «ложь», и принимает значение «ложь», если A(x) принимает значение «истина».
Множеством истинности предиката x X является дополнение T' к множеству T в множестве X.
Импликацией предикатов A(x) и B(x) называется новый предикат <math>A\left( x \right)\Rightarrow B\left( x \right)</math>, который является ложным при тех и только тех значениях x из T, при которых A(x) принимает значение «истина», а B(x) — значение «ложь», и принимает значение «истина» во всех остальных случаях. Читают: «Если A(x), то B(x)».
Например. A(x): «Натуральное число x делится на 3». B(x): «Натуральное число x делится на 4», можно составить предикат: «Если натуральное число x делится на 3, то оно делится и на 4». Множеством истинности предиката <math>A\left( x \right)\Rightarrow B\left( x \right)</math> является объединение множества T2 — истинности предиката B(x) и дополнения к множеству T1 истинности предиката A(x).
Кванторные операции
- Квантор всеобщности <math>\forall</math>
- Квантор существования <math>\exists</math>
- Квантор существования по переменной <math>x</math>1
См. также
Литература
