Русская Википедия:Предпорядок
Предпоря́док (квазипоря́док) — бинарное отношение на множестве, обладающее свойствами рефлексивности и транзитивности. Обычно это отношение обозначается <math>\preccurlyeq</math>, тогда аксиомы предпорядка на множестве <math>M</math> принимают вид:
- <math>\forall a\in M\colon a \preccurlyeq a</math>,
- <math>\forall a,b,c\in M\colon (a \preccurlyeq b \land b \preccurlyeq c)\Rightarrow(a \preccurlyeq c)</math>.
Линейный предпорядок — предпорядок на множестве, для которого любые два элемента множества сравнимы:
- <math>\forall a,b\in X\colon (a \preccurlyeq b)\lor(b \preccurlyeq a)</math>.
Теория категорий
Категория <math>\mathcal P</math> называется предпорядком, если для любых двух объектов <math>a,b\in Ob \mathcal P</math> существует не более одного морфизма <math>f\colon a\to b</math>. Если <math>\mathcal P</math> — малая категория, то на множестве её объектов можно задать отношение предпорядка по следующему правилу:
- <math>a \preccurlyeq b \iff \exists f\colon a\to b</math>.
Из аксиом категории следует, что такое отношение будет рефлексивным и транзитивным. Предпорядок — абстрактная категория, то есть его в общем случае нельзя представить как категорию некоторых множеств с заданной структурой и отображениями, сохраняющими эту структуру. Также предпорядок — скелетная категория.
Если малая категория <math>\mathcal C</math> полна в малом, то она является предпорядком, причём каждое малое множество его элементов имеет наибольшую нижнюю грань. Произведение набора (множества, класса) объектов предпорядка — это наибольшая нижняя грань для этого набора. Копроизведение набора объектов — это его наименьшая верхняя грань. Начальный объект <math>0</math> в предпорядке <math>\mathcal P</math>, если он существует, — это его наименьший объект, так что <math>\forall a\in\mathcal P\colon 0 \preccurlyeq a</math>. Аналогично, терминальный объект предпорядка — это наибольший объект в нём.
Объектами категории предпорядков (обозначаемой обычно <math>\mathbf{Preord}</math>) являются предпорядки (в смысле категорий), в частности, множества, на которых задано отношение предпорядка. Морфизмы в этой категории — отображения множеств, сохраняющие отношение предпорядка, то есть монотонные отображения. Подкатегория малых предпорядков <math>\mathbf{Preord}_S</math> — конкретная категория, наделённая очевидным унивалентным забывающим функтором:
- <math>U\colon \mathbf{Preord}_S \to \mathbf{Set}</math>,
сопоставляющим каждому малому предпорядку множество его объектов, а каждому морфизму — монотонное отображение соответствующих множеств. Этот функтор создаёт пределы в <math>\mathbf{Preord}</math>. Таким образом, аналогично <math>\mathbf{Set}</math>, начальным объектом в <math>\mathbf{Preord}</math> является пустое множество, терминальным объектом — множество из одного элемента, произведением объектов — прямое произведение соответствующих множеств с покомпонентным сравнением.
Литература
