Русская Википедия:Представление группы

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Значения Шаблон:Distinguish

Представле́ние гру́ппы — вообще говоря, любое действие группы. Однако чаще всего под представлением группы понимается линейное представление группы, то есть действие группы на векторном пространстве. Иными словами, представление группы — это гомоморфизм заданной группы в группу невырожденных линейных преобразований векторного пространства.

Представления групп позволяют свести многие теоретико-групповые задачи к задачам линейной алгебры. Представления групп также имеют приложения в теоретической физике, так как позволяют понять, как группа симметрии физической системы влияет на решения уравнений, описывающих эту систему.

Определение

Пусть <math>G</math> — заданная группа и <math>W</math> — векторное пространство. Тогда представление группы <math>G</math> — это отображение <math>A</math>, ставящее в соответствие каждому элементу <math>g\in G</math> невырожденное линейное преобразование <math>A_g: W \to W</math>, причём выполняются свойства

<math>A_{gh} = A_g \, A_h, \ \, A_{g^{-1}} = A_g^{-1} \quad (\forall g,h\in G).</math>

Векторное пространство <math>W</math> называется в этом случае пространством представления <math>A</math>. Раздел математики, который изучает представления групп, называется теорией представлений (групп). Представление можно понимать как запись группы с помощью матриц или преобразований линейного пространства. Смысл использования представлений групп заключается в том, что задачи из теории групп сводятся к более наглядным задачам из линейной алгебры, зачастую допускающим решение вычислительного характера. Этим объясняется большая роль теории представлений в различных вопросах алгебры и других разделов математики. Например, одномерные представления симметрической группы <math>S_n</math> и знакопеременной группы <math>A_n</math> играют большую роль при доказательстве невозможности разрешения в радикалах алгебраического уравнения степени выше 4. В квантовой механике важную роль играют бесконечномерные (в которых векторное пространство — гильбертово) представления групп (в первую очередь группы Лоренца).

Связанные определения

  • Пусть <math>A\colon G\to\operatorname{Aut}(W)</math> есть представление группы <math>G</math>, здесь <math>\operatorname{Aut}(W)</math> — группа невырожденных линейных преобразований (автоморфизмов) пространства <math>W</math>. Размерностью представления <math>A</math> называется размерность векторного пространства <math>(\dim W).</math>
  • Представления <math>A:G\to\operatorname{Aut}(W)</math> и <math>A'\colon G\to\operatorname{Aut}(W')</math> одной и той же группы <math>G</math> называются эквивалентными, если существует такой изоморфизм <math>C: W' \to W</math> векторных пространств, что <math>A'_g=C^{-1} A_g C \ (\forall g \in G).</math> Отсюда следует, в частности, что эквивалентные представления имеют одинаковую размерность. Обычно представления рассматриваются с точностью до эквивалентности.
  • Представление <math>A:G\to\operatorname{Aut}(W)</math> называется прямой суммой представлений <math>A^{(i)}:G\to\operatorname{Aut}(W_i), \ i=1,\ldots, n,</math> если <math>W=W_1\oplus \cdots \oplus W_n</math> (здесь знак <math>\oplus</math> означает прямую сумму векторных пространств), причём для каждого <math>g\in G</math> подпространство <math>W_i \subset W</math> инвариантно относительно преобразования <math>A_g: W\to W</math> и индуцированное ограничением <math>A</math> на <math>W_i</math> представление <math>G\to\operatorname{Aut}(W_i)</math> эквивалентно <math>A^{(i)}.</math>
  • Для данного представления <math>A\colon G\to\operatorname{Aut}(W)</math> отображение <math>\chi_A\colon g\to \mathrm{tr} A(g)</math> называется характером <math>A</math>; здесь <math>\mathrm{tr}</math> обозначает след.

Типы представлений

  • Представление называется точным, если ядро соответствующего гомоморфизма состоит лишь из единичного элемента.
  • Представление группы <math>G</math> называется приводимым, если в векторном пространстве <math>W</math> есть подпространство, отличное от нулевого и самого <math>W</math>, инвариантное для всех преобразований <math>A_g: W \to W (\forall g \in G)</math>. В противном случае представление называется неприводимым, или простым (при этом представление на пространстве <math>W=\{0\}</math> не считается неприводимым). Теорема Машке утверждает, что конечномерные представления конечных групп над полем характеристики ноль (или положительной, но не делящей порядок группы) всегда раскладываются в прямую сумму неприводимых.
  • Всякое неприводимое представление коммутативной группы над полем комплексных чисел одномерно. Такие представления называются характерами.
  • Представление называется регулярным, если <math>W</math> — пространство функций на группе <math>G</math> и линейное преобразование <math>A_g: W \to W</math> ставит в соответствие каждой функции <math>f(\omega), \ \omega \in G,</math> функцию <math>f(g\omega), \ \omega \in G</math>. Иными словами, регулярным называется естественное представление на групповом кольце группы.
  • Представление называется унитарным относительно некоторого эрмитова скалярного произведения в пространстве <math>W</math> над полем <math>\mathbb{C}</math>, если все преобразования <math>A_g: W \to W (\forall g \in G)</math> являются унитарными. Представление называется унитаризуемым, если в векторном пространстве <math>W</math> (над полем <math>\mathbb{C}</math>) множно ввести такое эрмитово скалярное произведение, относительно которого оно является унитарным. Любое представление конечной группы <math>G</math> унитаризуемо: достаточно выбрать в пространстве <math>W</math> произвольное эрмитово скалярное произведение <math>\langle x,y \rangle</math> и определить искомое эрмитово скалярное произведение формулой <math>(x,y) = \sum_{g\in G} \langle A_g(x),A_g(y) \rangle.</math>
  • Если <math>G</math> ― топологическая группа, то под представлением группы <math>G</math> обычно понимается непрерывное линейное представление <math>A</math> группы <math>G</math> в топологическом векторном пространстве <math>W</math>. Это значит, что непрерывно отображение из <math>G\times W</math> в <math>W</math>, заданное как <math>(g,v)\mapsto A_gv</math>[1].

Примеры

  • Унитарная группа U(1) может быть представлена как группа вращений двумерного пространства вокруг центра.
  • Представление симметрической группы <math>S_n</math> может быть получено следующим образом. Выберем в векторном пространстве <math>W</math> размерности <math>n</math> базис <math>e_1, \ldots, e_n</math>. Для каждой перестановки <math>g\in S_n: \ (1,\ldots,n) \mapsto (i_1,\ldots,i_n)</math> определим линейное преобразование <math>A_g: W \to W,</math> переводящее базисный вектор <math>e_k</math> в базисный вектор <math>e_{i_k},</math> где <math>k=1,\ldots, n.</math> Таким образом получается <math>n</math>-мерное представление группы <math>S_n.</math>
  • Неприводимое двумерное представление группы <math>S_3</math> можно получить, выбрав в плоскости <math>W</math> базис <math>e_1, e_2,</math> положив вектор <math>e_3=-(e_1+e_2)</math> и определив для каждой перестановки <math>g\in S_3: \ (1,2,3) \mapsto (i_1,i_2,i_3)</math> линейное преобразование <math>A_g: W \to W</math>, переводящее <math>e_1</math> в <math>e_{i_1}</math> и <math>e_2</math> в <math>e_{i_2}.</math>
  • Присоединённое представление — представление группы Ли, действующее на соответствующей алгебре Ли.
  • Коприсоединённое представление — представление, Шаблон:Iw к присоединённому.

Вариации и обобщения

В более широком смысле под представлением группы может пониматься гомоморфизм группы в группу всех обратимых преобразований некоторого множества <math>X</math>. Например:

Ссылки

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Шаблон:ВС

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Книга:Математическая энциклопедия
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Представление_группы&oldid=10638903