Русская Википедия:Преобразование Боголюбова

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

В теоретической физике преобразование Боголюбова было найдено в 1958 году Николаем Боголюбовым для нахождения решений теории БКШ в однородной системе . Преобразование Боголюбова часто используется для диагонализации гамильтонианов, тем самым давая стационарные решения уравнения Шрёдингера. Преобразование Боголюбова также важно для понимания эффекта Унру, излучения Хокинга, эффектов спаривания в ядерной физике.

Случай бозонов

Рассмотрим каноническое коммутационное соотношение для операторов рождения и уничтожения бозонов

<math>\left [ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right ] = 1~.</math>

Определим новую пару операторов

<math>\hat{b} = u \hat{a} + v \hat{a}^\dagger</math>

<math>\hat{b}^\dagger = u^* \hat{a}^\dagger + v^* \hat{a}~,</math>

где второй эрмитово сопряжен с первым.

Преобразование Боголюбова — каноническое преобразование, сопоставляющее операторам <math>\hat{a}</math> и <math>\hat{a}^\dagger</math> операторы <math>\hat b \text{ и} {\hat b}^\dagger</math>. Чтобы найти условия на постоянные u и v, при которых преобразование является каноническим, вычислим коммутатор

<math>\left [ \hat{b}, \hat{b}^\dagger \right ]

    = \left [ u \hat{a} + v \hat{a}^\dagger , u^* \hat{a}^\dagger + v^* \hat{a} \right ]
    = \cdots = \left ( |u|^2 - |v|^2 \right ) \left [ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right ]. </math>

Очевидно, что <math>\,|u|^2 - |v|^2 = 1</math> — условие, при котором преобразование является каноническим. Постоянные u и v можно представить в виде

<math>u = e^{i \theta_1} \operatorname{ch} r </math>

<math>v = e^{i \theta_2} \operatorname{sh} r ~ .</math>

Случай фермионов

Для антикоммутатора

<math>\left\{ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right\} = 1</math>,

такое же преобразование с u и v приводит к

<math>\left\{ \hat{b}, \hat{b}^\dagger \right\} = (|u|^2 + |v|^2) \left\{ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right\}</math>

Чтобы преобразование было каноническим, u и v могут быть представлены в виде

<math>u = e^{i \theta_1} \cos r \,\!</math>

<math>v = e^{i \theta_2} \sin r \,\! .</math>