Русская Википедия:Преобразование Вигнера — Вейля

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

В квантовой механике, преобразование Вигнера — Вейля (названо в честь Германа Вейля и Юджина Вигнера) — обратимое отображение функций в представлении фазового пространства на операторы гильбертова пространства в представлении Шредингера.

Часто отображение функций заданных на фазовом пространстве в пространство операторов называется преобразованием Вейля и квантованием Вейля, в то время как обратное преобразование, от операторов к функциям в фазовом пространстве, называется преобразованием Вигнера. Это сопоставление первоначально было изобретено Германом Вейлем в 1927 году в попытке получить отображение симметризованных классических функций в фазовом пространстве на операторы, процедура, известная как квантование Вейля. Сейчас известно, что квантование Вейля не удовлетворяет всем свойствам, которые можно требовать для квантования, и поэтому иногда даёт нефизические ответы. С другой стороны, обладает некоторыми хорошими свойствами, описанными ниже. Если кто-то ищет единую непротиворечивую процедуру квантования для отображения функций в классическом фазовом пространстве на операторы, то квантование Вейля является оптимальным вариантом, хотя теорема Груневолда гласит, что не существует такого отображения, которое имеет все те свойства, которые можно было бы желать в идеале.

Преобразование Вейля — Вигнера является четко определённым интегральным преобразованием между представлениями фазового пространства и операторного пространства. Самое главное, что квазивероятностное распределения Вигнера — это преобразование Вигнера матрицы плотности, и, наоборот, матрица плотности — это преобразование Вейля функции Вигнера.

В отличие от оригинальных намерений Вейля в поиске последовательной схемы квантования, это отображение просто сводится к изменению представления квантовой механики. Для этого не нужно соединять «классические» и «квантовые» величины. Например, функции из фазового пространства могут зависеть явно от постоянной Планка ħ, как это происходит в некоторых привычных случаях, связанных с моментом импульса. Это обратимое представление позволяет построить квантовую механику в фазовом пространстве, что было сделано в 1940 году Хилбрандом Ж. Груневолдом и Хосе Энрике Моялем.

Определение квантования Вейля для наблюдаемой

Ниже описано преобразование Вейля заданном на самом простом, двухмерном евклидовом фазовом пространстве. Пусть координаты в фазовом пространстве Шаблон:Math и Шаблон:Math функция, определённая всюду в фазовом пространстве. В дальнейшем, предполагается что операторы Р и Q удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям, таких как привычное коммутационное соотношение между операторами координаты и импульса в представлении Шредингера. Мы предполагаем, что экспоненциальные операторы <math>e^{iaQ}</math> и <math>e^{ibQ}</math> представляют собой неприводимые представления соотношений Вейля, так что теорема Стоуна — фон Неймана (гарантирующая уникальность канонических коммутационных соотношений) выполняется.

Основная формула

Преобразование Вейля (или квантование Вейля) функции Шаблон:Math можно выразить с помощью следующего оператора в гильбертовом пространстве,

<math> \Phi [f] = \frac{1}{(2\pi)^2}\iint\!\!\! \iint f(q,p) \rho\left(e^{i(a(Q-q) +b(P-p))}\right) \text{d}q\, \text{d}p\, \text{d}a\, \text{d}b.</math>

Здесь <math>\hbar</math> это редуцированная постоянная Планка.

Проще выполнить интегрирование по p и q, которое имеет смысл вычисления обычного преобразования Фурье <math>\tilde{f}</math> функции <math>f</math>, оставляя операторы <math>e^{i(aQ+bP)}</math> без изменений. В этом случае преобразование Вейля можно записать в виде

<math>\Phi [f] = \frac{1}{(2\pi)^2}\iint\tilde{f}(a,b)e^{iaQ+ibP}\,da\,db</math>.

Поэтому мы можем думать об отображении Вейля следующим образом: берем обычное преобразование Фурье функции <math>f(p,q)</math>, а затем применяя формулу обращения Фурье, мы заменяем квантовые операторы <math>P</math> и <math>Q</math> для начальных классических переменных <math>p</math> и <math>q</math>, получая таким образом „квантовую версию <math>f</math>.“

Менее симметричная форма, но и полезная для приложений, имеет вид,

<math> \Phi [f]= \frac{2}{(2\pi \hbar)^{3/2}}\iint \!\!\!\iint\!\! dq dp d\tilde{x} d\tilde{p} ~ e^{ \frac{i}{\hbar} (\tilde {x} \tilde {p} -2(\tilde{p}-p)(\tilde{x}-q))}~ f(q,p) ~ |\tilde{x}\rangle\langle \tilde{p}|.</math>

В координатном представлении

Отображение Вейля можно выразить в терминах ядра интегрального оператора для матричных элементов,

<math> \langle x| \Phi [f] |y \rangle = \int_{-\infty}^\infty {\text{d}p\over h} ~e^{ip(x-y)/\hbar}~ f\left({x+y\over2},p\right) . </math>

Обратное отображение

Обратное к вышеприведённому отображению Вейля называется отображением Вигнера, которое преобразует оператор Шаблон:Math к исходной функции ядра в фазовом пространстве Шаблон:Math,

<math> f(q,p)= 2 \int_{-\infty}^\infty \text{d}y~e^{-2ipy/\hbar}~ \langle q+y| \Phi [f] |q-y \rangle. </math>

Если заменить <math>\Phi[f]</math> в приведенном выше выражении произвольным оператором, то функция Шаблон:Math может зависеть от постоянной Планка Шаблон:Math, и может хорошо описывать квантово-механические процессы при условии, что она правильно составлена, то есть с использованием звёздочного произведения (см. ниже).

Квантование Вейля для полиномиальных наблюдаемых

Хотя приведенные выше формулы дают хорошее понимание квантования Вейля для наблюдаемых общего вида в фазовом пространстве, они не очень удобны для вычислений простых наблюдаемых, таких как те, которые представляются многочленами переменных <math>q</math> и <math>p</math>. В последующих разделах мы увидим, что для таких многочленов, квантование Вейля представляет собой полностью симметричный набор упорядоченных некоммутирующих операторов <math>Q</math> и <math>P</math>. Например, отображение Вигнера квадрата оператора квантового углового момента L² — это не просто классический момент импульса в квадрате, но оно также содержит смещение Шаблон:Math, которое приходится на неисчезающую часть углового момента боровской орбиты для основного состояния.

Свойства

Квантование Вейля для многочленов

Действие квантования Вейля на полиномиальные функции <math>q</math> и <math>p</math> полностью определяется следующей симметричной формулой:

<math>(aq+bp)^n\longmapsto (aQ+bP)^n</math>

для всех действительных чисел <math>a</math> и <math>b</math>. Из этой формулы, нетрудно показать, что квантование Вейля функции вида <math>q^k p^l</math> даёт среднее для всех возможных упорядочиваний <math>k</math> множителей <math>Q</math> и <math>l</math> множителей <math>P</math>. Например, для

<math>6 p^2 q^2 ~~ \longmapsto ~~ P^2 Q^2 + Q^2 P^2 + PQPQ+PQ^2P+QPQP+QP^2Q.</math>

Хотя этот результат концептуально понятен, он не очень удобен для вычислений, когда <math>k</math> и <math>l</math> большие. В таких случаях, мы можем использовать формулу Маккоя

<math> p^m q^n ~~ \longmapsto ~~ {1 \over 2^n}

\sum_{r=0}^{n} {n \choose r} Q^r P^m Q^{n-r}={1 \over 2^m}\sum_{s=0}^{m} {m \choose s} P^s Q^{n}P^{m-s}.</math>

Это выражение дает явно другой ответ для случая <math>p^2 q^2</math> очевидно отличный от совершенно симметричного выражения выше. Тут нет никакого противоречия, однако, поскольку канонические коммутационные соотношения позволяют более чем одно выражение для одного и того же оператора. Используя коммутационные соотношения можно переписать полностью симметричную формулу для случая <math>p^2q^2</math> в терминах операторов <math>P^2Q^2</math>, <math>QP^2Q</math> и <math>Q^2P^2</math> и проверить первое выражение в формуле Маккоя для <math>m=n=2</math>.

Считается, что квантование Вейля, среди всех схем квантования, как можно ближе к отображению скобки Пуассона в классическом случае на коммутатор в квантовом случае. (Точное соответствие невозможно, в свете теоремы Груневолда)

Теорема: Если <math>f(q,p)</math> это полином степени не более 2 и <math>g(q,p)</math> — произвольный многочлен, то <math>\Phi(\{f,g\})=\frac{1}{i\hbar}[\Phi(f),\Phi(g)]</math>.

Квантование Вейля функций общего вида

• Если Шаблон:Math — это вещественная функция, то её образ Вейля Шаблон:Math самосопряжен.
• Если Шаблон:Math является элементом пространства Шварца, то Шаблон:Math — ядерный оператор в гильбертовом пространстве.
• В более общем случае, Шаблон:Math плотно определённый неограниченный оператор.
• Отображение Шаблон:Math — взаимнооднозначное соответствие на пространстве Шварца (как подпространство квадратично интегрируемых функций).

Деформационное квантование

Интуитивно, деформация математического объекта — это семейство из того же рода объектов, которые зависят от некоторого параметра(ов). Здесь, она предоставляет правила для описания того, как деформируется «классическая» коммутативная алгебра наблюдаемых в квантовую некоммутативную алгебру наблюдаемых.

Основная идея деформационной теории заключается в том, чтобы начать с алгебраической структуры (скажем, алгебры Ли) и спросить: существует ли одно- или более параметрическое семейство подобных структур, таких, что для начального значения параметра(ов) имеет одинаковую структуру (алгебру Ли) с начальным элементом? (Старейшей иллюстрацией этого подхода может служить представление Эратосфеном в древнем мире идеи, что сферическая Земля это деформируемая плоская Земля, с параметром деформации 1/R_⊕.) Поскольку алгебры функций на пространстве определяет геометрию этого пространства, то изучение звёздочного произведения приводит к изучению некоммутативной геометрии деформации этого пространства.

В вышеуказанном контексте плоского фазового пространства, например, звёздочное произведение (произведение Мояля, фактически введенное Груневолдом в 1946 году), ★_ħ, пары функций Шаблон:Math, определяется

<math>\Phi [f_1 \star f_2] = \Phi [f_1]\Phi [f_2].\,</math>

Звёздочное произведение не является коммутативным в целом, но переходит к обычному коммутативному произведению функций в классическом пределе Шаблон:Math. Говорят, что определяют деформацию коммутативной алгебры Шаблон:Math.

Для преобразования Вейля из примера выше, ★-произведение можно записать в терминах скобки Пуассона как

<math>f_1 \star f_2 = \sum_{n=0}^\infty \frac {1}{n!} \left(\frac{i\hbar}{2} \right)^n \Pi^n(f_1, f_2).</math>

Здесь, Π — это пуассоновский бивектор. Оператор определён таким образом, что его степени

<math>\Pi^0(f_1,f_2)=f_1f_2</math>

и

<math>\Pi^1(f_1,f_2)=\{f_1,f_2\}=

\frac{\partial f_1}{\partial q} \frac{\partial f_2}{\partial p} - \frac{\partial f_1}{\partial p} \frac{\partial f_2}{\partial q} ~, </math>

где {f₁, f₂} — скобка Пуассона. В более общем виде,

<math>\Pi^n(f_1,f_2)= \sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k}

\left( \frac{\partial^k }{\partial p^k} \frac{\partial^{n-k}}{\partial q^{n-k}} f_1 \right) \times \left( \frac{\partial^{n-k} }{\partial p^{n-k}} \frac{\partial^k}{\partial q^k} f_2 \right) </math>

где <math>{n \choose k}</math> — биномиальный коэффициент.

Так, например, гауссианы умножаются гиперболически,

<math>

\exp \left (-{a } (q^2+p^2)\right ) ~ \star ~ \exp \left (-{b} (q^2+p^2)\right ) = {1\over 1+\hbar^2 ab} \exp \left (-{a+b\over 1+\hbar^2 ab} (q^2+p^2)\right ) , </math>

или

<math>

\delta (q) ~ \star ~ \delta(p) = {2\over h}

\exp \left (2i{qp\over\hbar}\right ) , </math>

и т. д. Эти формулы основаны на координатах, в которых бивектор Пуассона постоянен (обычные скобки Пуассона). Для общей формулы на произвольных многообразиях Пуассона, см. формулу квантования Концевича.

Антисимметризация этого ★-произведения известна как скобка Мояля, правильная квантовая деформация скобки Пуассона, и изоморфизм (преобразование Вигнера) квантового коммутатора из заданного в фазовом пространстве в гильбертовое пространство (обычная формулировка квантовой механики). Она представляет собой основу уравнений для квантовомеханических наблюдаемых в представлении фазового пространства.

Эти результаты используются для формулировки квантовой механики в фазовом пространстве, что полностью эквивалентна представлению операторов в гильбертовом пространстве.

Средние значения при квантовании в фазовом пространстве получены изоморфно к следовому оператору наблюдаемых Φ из матрицы плотности в гильбертовом пространстве: они получены путем интегрирования по фазовому пространству от наблюдаемых, таких как выше f с квазивероятностным распределением Вигнера в качестве меры. Классические выражения, наблюдаемых, и операций (таких как скобки Пуассона) изменяются за счёт ħ-зависимых квантовых поправок, а обычная коммутативность умножения в классической механике обобщается на некоммутативное звёздочное умножение характеризующее квантовую механику и принцип неопределенности лежащий в её основе.

Следует подчеркнуть, однако, что, несмотря на свое название, деформационное Квантование не является успешной схемой квантования, а именно метод для создания квантовой теории из классической. Она позволяет всего лишь изменить представление из гильбертова пространства в фазовое пространство.

Обобщения

C большей обобщенностью, квантование Вейля изучается в тех случаях, когда фазовое пространство является симплектическим многообразием, или, возможно, пуассоновским многообразием. Родственные структуры включают группы Пуассона — Ли и алгебры Каца — Муди.

Дальнейшее чтение

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Статья (Sections I to IV of this article provide an overview over the Wigner-Weyl transform, the Wigner quasiprobability distribution, the phase space formulation of quantum mechanics and the example of the quantum harmonic oscillator.)
• Шаблон:SpringerEOM