Русская Википедия:Преобразование Вигнера — Вилла

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Преобразование Вигнера — Вилла (Шаблон:Lang-en) — один из эффективных методов спектрально-временного анализа нестационарных сигналовШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Встречаются другие названия: преобразование Вигнера — Вилля, распределение Вигнера — Вилла (Шаблон:Lang-en), распределение Вигнера — Вилля, функция Вигнера.

Вычисление

<math>P\left(\tau,f\right)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}s\left(\tau+\frac t2\right)\cdot s^*\left(\tau-\frac t2\right)\cdot e^{-j2\pi ft}dt</math>

Распределение <math>P\left(\tau,f\right)</math> может принимать только действительные значения (включая отрицательные).

Несмотря на высокое разрешение как по частоте, так и по времени, распределение может порождать побочные частотные компонентыШаблон:SfnШаблон:Sfn, затрудняющие анализ сигнала. Это связано с нелинейностью преобразования.

Существует несколько методов, позволяющих уменьшить интенсивность побочных компонент, используя определённые процедуры усреднения. Один из них − использование окна h(t) во временной области. В результате получается так называемое псевдопреобразование ВигнераШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

<math>P\left(\tau,f\right)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}h(t)\cdot s\left(\tau+\frac t2\right)\cdot
         s^*\left(\tau-\frac t2\right)\cdot e^{-j2\pi ft}dt</math>

Если окно прямоугольное:

<math>
       h(t)=\left\{\begin{array}{ll}
       1,&-t_0\le t\le t_0\\
       0,&|t|>t_0
       \end{array}\right.\textrm{,}

</math>

то при <math>t_0 \rightarrow \infty</math> псевдопреобразование Вигнера переходит в обычное преобразование Вигнера — Вилла. При уменьшении t0 интенсивность побочных спектральных компонент снижается, плата за это — ухудшение частотного разрешения.

При анализе оцифрованного сигнала псевдопреобразование Вигнера удобнее вычислять с помощью быстрого преобразования Фурье (БПФ) в скользящем окнеШаблон:Sfn. Для этого перед вычислением процедуры БПФ выборку из сигнала s[n], выделенную скользящим окном размером Nwin отсчетов, преобразуют по следующему алгоритму:

если размер окна нечётный, то

<math>

\begin{array}{ll} 

   s_1[n]=s[n]\cdot s^*[N_{win}-n-1],&n=0, 1,\ldots,N_{win}-1,

\end{array} </math>

для четного размера окна

<math>

\begin{array}{ll} 

 s_1[n]=s[n]\cdot s^*[N_{win}-n-2],&n=0, 1,\ldots,N_{win}-2,\\
 s_1[N_{win}-1]=s[N_{win}-1]\cdot s^*[N_{win}-1];&

\end{array} </math>

чтобы результат процедуры БПФ получился действительным, необходимо перед её вычислением выполнить циклическую перестановку полученного сигнала s1[n] влево на (Nwin−1)/2 (если Nwin — нечётное) или на Nwin/2-1 (если Nwin — четное).

При построении вычисленного спектрально-временного распределения все значения на шкале частот следует разделить на 2

Пример использования

Для иллюстрации метода пригодна бесплатная компьютерная программа PSE LabШаблон:Sfn.

Результат построения спектрально-временного распределения для сигнала, смоделированного на компьютере:

<math>

s[n]=\exp\left(j\cdot\left(2\pi\cdot 0.05\cdot n+100\cdot\sin\left(2\pi\cdot 0.0005\cdot n\right)\right)\right)+ 

    \exp\left(j\cdot\left(2\pi\cdot 0.1\cdot n+200\cdot\sin\left(2\pi\cdot 0.0005\cdot n\right)\right)\right),

</math>

состоящего из двух ЧМ компонент, мгновенная цифровая частота одной из них меняется по синусоидальному закону в диапазоне от 0 до 0,1, а другой — от 0 до 0,2, приведены на рисунках.

Файл:Wigner-Ville (WinSize=500).jpg
Рис. 1. Распределение Вигнера — Вилла (размер окна = 500 отсчетов).
Файл:FFT (WinSize=500).jpg
Рис. 2. Спектрограмма (размер окна = 500 отсчетов).
Файл:Wigner-Ville (WinSize=2000).jpg
Рис. 3. Распределение Вигнера — Вилла (размер окна = 2000 отсчетов).

На рис. 1 представлено спектрально-временное распределение энергии, полученное с помощью псевдопреобразования Вигнера c размером окна Nwin=500 отсчетов. По оси абсцисс отложено время (увеличивается слева-направо), по оси ординат — цифровая частота. Более темные участки распределения соответствуют большей интенсивности.

Для сравнения, на рис. 2 представлена Фурье-спектрограмма, вычисленная с таким же размером окна.

Качественно можно видеть, что спектрально-временное распределение Вигнера — Вилла (рис. 1) имеет более высокое частотно-временное разрешение, по сравнению со спектрограммой (рис. 2).

При увеличении размера окна количество и интенсивность побочных частотных компонент в распределении Вигнера — Вилла увеличиваются, что может осложнить анализ основных частотных компонент (рис. 3).

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Преобразование_Вигнера_—_Вилла&oldid=10642510