Русская Википедия:Преобразование Гаусса

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Эта статья

В математике, преобразование Гаусса или отображение Гаусса — (измеримая) динамическая система на отрезке [0, 1], заданная отображением

<math>T \colon x \mapsto \{1/x\},</math>

где <math>\{\cdot\}</math> обозначает дробную часть числа[1]. Исследованная в конце XVIII — начале XIX века Гауссом, это одна из первых одномерных динамических систем.

Это преобразование «стирает» первое неполное частное в разложении числа в цепную дробь:

<math>

T([0; a_1, a_2, a_3, \dots]) = [0; a_2, a_3, \dots]. </math>

Кроме того, оно обладает эргодической инвариантной мерой, абсолютно непрерывной относительно меры Лебега:

<math>

\mu = \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{dx}{1 + x}, \quad T_*\mu = \mu. </math>

Применение к этой мере эргодической теоремы Биркгофа — Хинчина влечёт существование постоянной Хинчина и утверждение о распределении элементов цепной дроби случайного числа <math>x \in [0, 1]</math> — статистика Гаусса — Кузьмина.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

  1. Аникин и Голубенцев (2007), глава 3.