Русская Википедия:Преобразование Гильберта

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Преобразова́ние Ги́льберта в математике и обработке сигналов — линейный оператор, сопоставляющий каждой функции <math>u(t)</math> от действительной переменной функцию <math>H(u)(t)</math> в той же области с помощью свёртки исходной функции с функцией <math>1/(\pi t)</math>. В физике эти соотношения известны как соотношения Крамерса — Кронига, связывающие мнимую и действительную части комплексной функции отклика системы.

Определение

Преобразование Гильберта определено следующим образом (здесь v.p. означает главное значение несобственного интеграла по Коши):

<math> H(u)(t) = \frac{1}{\pi} \operatorname{v.p.} \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{u(\tau)}{t - \tau} \,d\tau, </math>

или, более явно:

<math>H(u)(t) = \frac{1}{\pi} \lim_{\varepsilon \to 0} \int\limits_\varepsilon^\infty \frac{u(t + \tau) - u(t - \tau)}{\tau} \,d\tau=\frac{2}{\pi} \lim_{\varepsilon \to 0} \int\limits_\varepsilon^\infty \frac{u(t + \tau) - u(t - \tau)}{2\tau} \,d\tau=H(\delta)(t)*u(t):=\delta(jt)*u(t).</math>

Свойства

Результат двукратного применения преобразования Гильберта — исходная функция с обратным знаком:

<math>H\big(H(u)\big)(t) = -u(t),</math>

при условии, что оба преобразования существуют.

Преобразование Гильберта даёт функцию <math>H\big(u(t)\big)</math>, ортогональную функции <math>u(t)</math>.

Связь с преобразованием Фурье

Преобразование Гильберта является множителем в спектральной области.

<math>

\mathcal{F}\big(H(u)\big)(\omega) = -i \operatorname{sgn}(\omega) \cdot \mathcal{F}(u)(\omega), </math>

где <math> \mathcal{F}(u)(\omega) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} u(t) e^{-i\omega t} \,dt </math> — вариант прямого преобразования Фурье без нормировочного множителя.

Обратное преобразование

<math>H^{-1} = -H.</math>

Некоторые преобразования Гильберта

В следующей таблице параметр частоты <math>\omega</math> является действительным числом.

Сигнал <math>u(t)\,</math>	Преобразование Гильберта <math>H(u)(t)</math>
константа	0
<math> \sin \omega t </math>	<math> \sgn(\omega) \sin\left(\omega t - \tfrac{\pi}{2}\right) = -\sgn(\omega) \cos \omega t </math>
<math> \cos \omega t </math>	<math>\sgn(\omega) \cos\left(\omega t - \tfrac{\pi}{2}\right) = \sgn(\omega) \sin \omega t </math>
<math> e^{i \omega t} </math>	<math> \sgn(\omega) e^{i\left(\omega t - \tfrac{\pi}{2}\right)} = -i\cdot \sgn(\omega) e^{i \omega t} </math>
<math> 1 \over t^2 + 1 </math>	<math> t \over t^2 + 1 </math>
<math> e^{-t^2} </math>	<math> 2\pi^{-1/2} F(t) </math> (Шаблон:Math — интеграл Доусона)
Sinc <math> \frac{\sin t}{t} </math>	<math>\frac{ 1 - \cos t}{ t} </math>
Характеристическая функция над отрезком Шаблон:Math <math> \chi_{[a,b]}(t) </math>	<math>{ \frac{1}{\pi}\ln \left\vert \frac{t - a}{t - b}\right\vert }</math>
Прямоугольная функция (частный случай предыдущего) <math> \sqcap(t) </math>	<math> {1 \over \pi} \ln \left\vert {t + {1 \over 2} \over t - {1 \over 2}} \right\vert </math>
Дельта-функция <math> \delta(t) </math>	<math> {1 \over \pi t} </math>

Геометрический смысл

Для <math>2\pi</math>-периодических функций, то есть определённых на единичной окружности, преобразование Гильберта имеет интерпретацию в терминах геометрии бесконечномерных однородных пространств. Именно, группа <math>\mathrm{Diff}^+(S^1)</math> сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов окружности имеет факторпространство <math>\mathrm{Diff}^+(S^1)/\mathrm{U}(1)</math> по подгруппе, состоящей из поворотов (то есть сохранящих ориентацию изометрий окружности). Он называется пространством Кириллова — Юрьева, и имеет однородную комплексную структуру. Связанный с ней тензор — это и есть преобразование Гильберта. В самом деле, касательное пространство к пространству Кириллова — Юрьева это фактор алгебры векторных полей на окружности по постоянным векторным полям. Касательное расслоение к окружности тривиально, так что векторные поля можно отождествить с <math>2\pi</math>-периодическими функциями, при этом постоянные векторные поля перейдут в константы. На факторе функций на окружности по константам преобразование Гильберта действительно действует как оператор комплексной структуры (то есть оператор с квадратом <math>-\mathrm{Id}</math>); его собственное подпространство для собственного числа <math>\sqrt{-1}</math> (то, что называется в теории Ходжа <math>(1,0)</math>-подпространство) есть пространство Харди — граничные значения непрерывных функций на единичном диске, голоморфных на его внутренности (иначе говоря, <math>2\pi</math>-периодические функции, все ненулевые гармоники Фурье которых имеют положительные номера).

Пространство Кириллова — Юрьева допускает расслоение над другим бесконечномерным однородным пространством <math>\mathrm{Diff}^+(S^1)/\mathrm{M\ddot{o}b}(S^1)</math>, фактором группы диффеоморфизмов по граничным значениям мёбиусово преобразование (дробно-линейных) преобразований диска. Легко видеть, что слои этого расслоения суть однородные пространства <math>\mathrm{M\ddot{o}b}(S^1)/\mathrm{U}(1)</math>, биголоморфные единичным дискам. Это расслоение популяризовал А. Г. Сергеев.

Можно работать и в обратную сторону. Хорошо известен другой пример расслоения на окружности, база которого имеет естественную комплексную структуру, это расслоение Хопфа <math>S^{2n+1} \to \mathbb{C}\mathrm{P}^n</math>. Конус же над сферой может быть отождествлён с комплексным векторным пространством <math>\mathbb{C}^{n+1}</math>, из которого выброшен нуль. Так же и группа <math>\mathrm{Diff}^+(S^1)</math> может быть расширена группой <math>\mathbb{R}_{>0}</math> (такое расширение является алгебраическим аналогом восстановления конуса) таким образом, что получившаяся группа будет иметь структуру бесконечномерной комплексной группы Ли. На уровне алгебр Ли это расширение задаётся коциклом Гельфанда — Фукса, который в терминах функций на окружности пишется как <math>\omega(f,g) = \int_{S^1}\left|\begin{matrix}f' & g' \\ f & g\end{matrix}\right|dx</math>. Соответствующая группа называется группой Вирасоры (иногда Ботта — Вирасоры) и имеет основополагающее значение в теория струн и других разделах конформной теории поля.

См. также

• Численно-теоретические преобразования
• Преобразование Фурье
• Преобразование Лапласа
• Преобразование Гильберта — Хуанга
• Соотношения Крамерса — Кронига