Русская Википедия:Преобразование Гольштейна — Примакова
Преобразование Гольштейна — Примакова — переход от операторов спина к операторам рождения и уничтожения магнонов (являющихся бозонамиШаблон:Sfn). Было предложено Теодором Гольштейном (1915—1985, иногда фамилию пишут «Хольштейн») и Генри Примаковым (1914—1983)Шаблон:Sfn в оригинальной работе 1940 года[1].
Первое преобразование Гольштейна — Примакова
При изучении спиновых волн обычно переходят к циклическим комбинациям компонент спинов. Это выполняют следующим образом. Динамика магнитных моментов (или спинов) описывается уравнением Ландау — Лифшица. Предполагая, что ферромагнетик помещён в сильное магнитное поле напряжённостью <math>H_\mathrm{ext}</math> вдоль оси z и находится вблизи состояния насыщения (то есть для компонент спина длиной S выполняются соотношения <math>S_z \approx S</math>, <math>S_{x,y}\ll S</math>) уравнение Ландау — Лифшица в приближении магнитной анизотропии для j-го спина принимает вид
- <math> \frac{\mathrm dS_j^x}{\mathrm dt} = - S\sum_{j}J_{ji}(S_i^y-S_j^y) + g\mu_B H_\mathrm{ext}S_j^y, </math>
- <math> \frac{\mathrm dS_j^y}{\mathrm dt} = - S\sum_{j}J_{ji}(S_j^x-S_i^x) + g\mu_B H_\mathrm{ext}S_j^x, </math>
где магнитная анизотропия включена в обменный интеграл <math>J_{ji}</math>, g — фактор Ланде, <math>\mu_B</math> — магнетон Бора. Для изучения спиновых волн эти два уравнения записывают для операторов
- <math>S_j^\pm = S_j^x\pm iS_j^y,</math>
в форме
- <math> \frac{\mathrm dS_j^\pm}{\mathrm dt} = \mp i\left( S\sum_{j}J_{ji}(S_j^\pm-S_i^\pm) + g\mu_B H_\mathrm{ext}S_j^\pm\right), </math>
где i — мнимая единица.Шаблон:Sfn
В таком случае преобразованием Гольштейна — Примакова (первым) называют замену
- <math> S_j^+ = \sqrt{2S}\left(1 - \frac{1}{2S}a_j^\dagger a_j\right)^{1/2}a_j ,\quad S_j^- = \sqrt{2S}a_j^\dagger\left(1 - \frac{1}{2S}a_j^\dagger a_j\right)^{1/2}, </math>
где <math>a_j^\dagger</math> — оператор рождения спиновых возбуждений (квазичастиц), <math>a_j</math> — оператор их уничтожения.Шаблон:SfnШаблон:Sfn
Данное преобразование справедливо при низких температурах, когда число квазичастиц можно считать малым. Требование диагонализации спинового гамильтониана показывает, что элементарными возбуждениями ферромагнетика должны являться спиновые волны (то есть коллективные возбуждения), а не отклонения спинов от равновесного состояния, локализированные на узлах решётки.Шаблон:Sfn
Второе преобразование Гольштейна — Примакова
Иногда говорят о втором преобразовании Гольштейна — Примакова имея в виду переход к операторам рождения и уничтожения спиновых волн путём преобразования Фурье операторов для квазичастиц <math>a_j</math> и <math>a_j^\dagger</math> и их представления через волновые вектора <math>\mathbf k</math>:
- <math>a_{\mathbf k} = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_j a_j e^{-i\mathbf k \mathbf r_j},\quad a_{\mathbf k}^\dagger = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_j a_j^\dagger e^{i\mathbf k \mathbf r_j}.</math>
Новые операторы удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, что и «старые» и поэтому также могут рассматриваться как операторы рождения и уничтожения бозе-частиц, но которые уже являются коллективизированными. Спиновый гамильтониан, выраженный через них, диагонализуется, а сами операторы <math>a_{\mathbf k}</math> и <math>a_{\mathbf k}^\dagger</math> называют операторами уничтожения и рождения спиновых волн или магнонов.Шаблон:Sfn
См. также
Примечания
Литература
