Русская Википедия:Преобразование Лежандра
Преобразование Лежандра для заданной функции <math>f(x)</math> — это построение функции <math>f^*(p)</math>, двойственной ей по Юнгу. Если исходная функция была определена на векторном пространстве <math>V</math>, её преобразованием Лежандра будет функция, определённая на сопряжённом пространстве <math>V^*</math>, то есть на пространстве линейных функционалов на пространстве <math>V</math>.
Мотивация
Возможная мотивация может быть выражена в виде менее общего определения. Преобразование Лежандра — это такая замена функции и переменной, при которой старая производная принимается за новую переменную, а старая переменная — за новую производную.
Выражение для дифференциала
- <math>df(x) = f'(x) \,dx</math>
в силу того, что <math>d(xf') = f' \,dx + x \,df'</math>, может быть записано в виде
- <math>d(xf' - f) = x \,df'.</math>
Если теперь принять, что
- <math>F = xf' - f, \quad y = f'(x),</math>
что и является преобразованием Лежандра <math>(f, x) \to (F, y)</math>, тогда
- <math>dF(y) = F'(y) \,dy, \quad x = F'(y).</math>
При этом новая переменная <math>y</math> равна старой производной, а старая переменная <math>x</math> равна новой производной:
- <math>y = f'(x), \quad x = F'(y).</math>
Определения могут отличаться знаком <math>F</math>. Если исходных переменных <math>x</math> больше, чем одна, преобразование Лежандра может быть осуществлено по любому подмножеству из них.
Определение
Аналитическое определение
Преобразованием Лежандра функции <math>f</math>, заданной на подмножестве <math>M</math> векторного пространства <math>V</math>, называется функция <math>f^*</math>, определенная на подмножестве <math>M^*</math> сопряжённого пространства <math>V^*</math> по формуле
- <math>f^*(p) = \sup_{x \in M} \big(\langle p, x \rangle - f(x)\big), \quad p \in M^* = \left\{p : \sup_{x \in M}\big(\langle p, x \rangle - f(x)\big) < \infty \right\},</math>
где <math>\langle p, x \rangle</math> — значение линейного функционала <math>p</math> на векторе <math>x</math>. В случае гильбертова пространства <math>\langle p, x \rangle</math> — обычное скалярное произведение. В частном случае дифференцируемой функции, заданной в <math>\mathcal R^n</math>, переход к сопряженной функции осуществляется по формулам
- <math>f^*(p) = \langle p, x \rangle - f(x), \quad p = \frac{\partial f}{\partial x} = \operatorname{grad} f,</math>
причём <math>x</math> нужно выразить через <math>p</math> из второго уравнения.
Геометрический смысл
Шаблон:Seealso Для выпуклой функции <math> f(x) </math> её надграфик <math>\operatorname{epi} f = \{(x,y) \mid y \geqslant f(x)\}</math> есть выпуклое замкнутое множество, границей которого является график функции <math>f(x)</math>. Множество опорных гиперплоскостей к надграфику функции <math>f(x)</math> есть естественная область определения её преобразованием Лежандра <math>f^*(p).</math> Если <math>p</math> — опорная гиперплоскость (в нашем случае касательная) к надграфику, она пересекает ось <math>y</math> в некоторой единственной точке. Её <math>y</math>-координата, взятая со знаком минус, и есть значение функции <math>f^*(p)</math>.
Соответствие <math>x \to p</math> определено однозначно в области, где функция <math>f(x)</math> дифференцируема. Тогда <math>p</math> — касательная гиперплоскость к графику <math>f(x)</math> в точке <math>x</math>. Обратное соответствие <math>p \to x </math> определено однозначно тогда и только тогда, когда функция <math>f(x)</math> строго выпукла. В этом случае <math>x</math> — единственная точка касания опорной гиперплоскости <math>p</math> с графиком функции <math>f(x).</math>
Если функция <math>f(x)</math> дифференцируема и строго выпукла, определено соответствие <math>p(x) \leftrightarrow df(x),</math> сопоставляющее гиперплоскости <math>p</math> дифференциал функции <math>f(x)</math> в точке <math>x</math>. Это соответствие взаимно однозначно и позволяет перенести область определения функции <math>f^*(p)</math> в пространство ковекторов <math>V^*,</math> которыми являются дифференциалы функции <math>f(x)</math>.
В общем случае произвольной невыпуклой функции геометрический смысл преобразования Лежандра сохраняется. В силу опорного принципа, выпуклая оболочка надграфика <math>\varphi</math> является пересечением полупространств, задаваемых всеми опорными гиперплоскостями, поэтому для преобразования Лежандра существенна лишь выпуклая оболочка надграфика <math>\varphi</math>. Таким образом, случай произвольной функции легко сводится к случаю выпуклой. Функция даже не обязана быть дифференцируемой или непрерывной, её преобразование Лежандра всё равно будет выпуклой полунепрерывной снизу функцией.
Свойства
- Теорема Фенхеля — Моро: для собственной выпуклой полунепрерывной снизу функции f, заданной на рефлексивном пространстве, преобразование Лежандра является инволютивным, то есть <math>f^{**}(x) = f(x)</math>. Легко убедиться, что если выпуклым замыканием функции f является функция g, то f* = g*. Отсюда следует, что для невыпуклой функции, выпуклое замыкание которой — собственная функция,
- <math>f^{**}(x) = \operatorname{\overline{co}}f(x)</math>,
- где <math>\operatorname{\overline{co}}f</math> — выпуклое замыкание функции f.
- Непосредственно из аналитического определения следует неравенство Юнга — Фенхеля:
- <math>f(x) + f^*(p) \geqslant \langle p, x \rangle</math>, причём равенство достигается, только если p = FШаблон:'(x).
- (Часто неравенством Юнга называют частный случай этого неравенства для функции <math>F(x) = x^a/a</math>, a > 1.)
- В вариационном исчислении (и основанной на нём лагранжевой механике) преобразование Лежандра обычно применяется к лагранжианам действия <math>L(t, x, \dot x)</math> по переменной <math>\dot x</math>. Образом лагранжиана становится гамильтониан действия H(t, x, p), а уравнения Эйлера — Лагранжа для оптимальных траекторий преобразуются в уравнения Гамильтона.
- Используя тот факт, что <math>p = \nabla_x f</math>, легко показать, что <math>\nabla_p f^*(p) = -x</math>.
Примеры
Степенная функция
Рассмотрим преобразование Лежандра функции <math>f(x) = x^n</math>, (<math>n > 0</math>, <math>n \ne 1</math>), определённой на <math>\mathbb{R^+}</math>. В случае чётного n можно рассматривать <math>\mathbb{R}</math>.
- <math>p(x) = \frac{df}{dx} = n \cdot x^{n-1}.</math>
Отсюда выражаем <math>x = x(p)</math>, получаем
- <math>x(p) = \left(\frac{p}{n}\right)^{\frac{1}{n - 1}}.</math>
Итого получаем преобразование Лежандра для степенной функции:
- <math>f^*(p) = px - f(x) = \left(\frac{p}{n}\right)^{\frac{n}{n - 1}} \cdot (n - 1).</math>
Легко проверить, что повторное преобразование Лежандра даёт исходную функцию <math>f(x)</math>.
Функция многих переменных
Рассмотрим функцию многих переменных, определённую на пространстве <math>\mathbb{R}^n</math> следующего вида:
- <math>f(x) = \langle x, Ax \rangle + c.</math>
<math>A</math> действительная, положительно определённая матрица, <math>c</math> константа. Прежде всего убедимся, что сопряженное пространство, на котором определено преобразование Лежандра, совпадает с <math>\mathbb{R}^n</math>. Для этого нам нужно убедиться в существовании экстремума функции <math>\phi = \langle p, x \rangle - \langle x, Ax \rangle - c</math>.
- <math>\nabla_x \phi = p - 2Ax,</math>
- <math>\nabla_x \nabla_x \phi = -2A.</math>
В силу положительной определённости матрицы <math>A</math>, мы получаем, что точка экстремума является максимумом. Таким образом для каждого <math>p</math> существует супремум. Вычисление преобразования Лежандра проводится непосредственно:
- <math>f^*(p) = \frac{1}{4} \langle p, A^{-1}p \rangle - c.</math>
Применения
Гамильтонова механика
В лагранжевой механике система описывается функцией Лагранжа. Для типичной задачи функция Лагранжа выглядит следующим образом:
- <math>L(q, u) = \frac{1}{2} \langle u, Mu \rangle - V(q),</math>
<math>(q, u) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n</math>, со стандартными евклидовым скалярным произведением. Матрица <math>M</math> считается действительной, положительно определённой. В том случае, когда лагранжиан не вырожден по скоростям, то есть
- <math>p = \nabla_u L(q,u) \ne 0,</math>
можно сделать преобразование Лежандра по скоростям и получить новую функцию, называемую гамильтонианом:
- <math>H(p, q) = pq' - L = \frac{1}{2} \langle p, M^{-1} p \rangle + V(q).</math>
Термодинамика
В термодинамике очень часто встречаются самые разные термодинамические функции, дифференциал которых выглядит в самом общем случае как
- <math>dL = X\,dx + Y\,dy + Z\,dz + \ldots</math>
К примеру, дифференциал для внутренней энергии выглядит следующим образом:
- <math>dE = T\,dS - P\,dV.</math>
Энергия тут представлена как функция переменных <math>S, V</math>. Подобные переменные называются естественными. Например, свободная энергия получается как преобразования Лежандра внутренней энергии:
- <math>F = E - TS,</math>
- <math>dF = -S\,dT - P\,dV.</math>
В общем случае, если мы хотим перейти от функции <math>L = L(x, y, z, \ldots)</math> к функции <math>L = L(X, y, z, \ldots)</math>, то следует сделать преобразование Лежандра:
- <math>L(X, y, z, \ldots) = L - xX,</math>
- <math>dL(X, y, z, \ldots) = -x\,dX + Y\,dy + Z\,dz + \ldots</math>
Теория поля. Функциональное преобразование Лежандра
В квантовой теории поля очень часто используется функциональное преобразование Лежандра. Исходным объектом являются связные функции Грина, которые обозначаются <math>W(A)</math>, где <math>A</math> — некоторые внешние поля. Преобразованием Лежандра по полю А называют следующую функцию[1]:
- <math>\Gamma(\alpha) = W\big(A(\alpha)\big) - \int dx \cdot \alpha A.</math>
Знак интегрирование обычно не пишут. <math>\alpha</math> определяется следующим выражением[1]:
- <math>\alpha(x) = \frac{\delta{W}}{\delta{A(x)}},</math>
<math>\delta</math> означает вариационную производную. При помощи свойства вариационной производной несложно вывести следующее соотношение, связывающее <math>W</math> и <math>\Gamma</math>. Действительно:
- <math>\delta(x - y) =
\frac{\delta A(x)}{\delta A(y)} =
\int dz\, \frac{\delta A(x)}{\delta \alpha(z)} \frac{\delta \alpha(z)}{\delta A(y)} =
-\int dz\, \frac{\delta^2\Gamma}{\delta\alpha(x) \delta\alpha(z)} \frac{\delta^2 W}{\delta A(z) \delta A(y)}.</math>
Другими словами, функционалы <math>W_2 = \frac{\delta^2 W}{\delta A(z) \delta A(y)}</math> и <math>\Gamma_2 = \frac{\delta^2\Gamma}{\delta\alpha(x) \delta\alpha(z)}</math>, с точностью до знака, являются обратными друг к другу. Символически это записывают следующим образом:
- <math>W_2 \cdot \Gamma_2 = -1.</math>
Примечания
Литература
- Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа Шаблон:Wayback. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.
- Васильев А. Н. Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике. — Л., 1976. — 295 с.
