Русская Википедия:Преобразование координат
Преобразование координат — замена системы координат на плоскости, в пространстве или, в самом общем случае, на заданном <math>n</math>-мерном многообразии.
Пример перехода от полярных координат <math>\{r,\varphi\}</math> к декартовым <math>\{x, y\}</math> на евклидовой плоскости:
- <math>\begin{cases} x=r \cos \varphi \\ y=r \sin \varphi \end{cases}</math>
Чаще всего преобразование координат производится для перехода к более простой или более удобной для анализа математической модели. Например, уравнения некоторых плоских кривых в полярных координатах существенно проще, чем в декартовых, а для исследования осесимметричных тел удобно направить одну из осей координат вдоль оси симметрии.
Определение
Преобразование координат — совокупность правилШаблон:Sfn, ставящих в соответствие каждому набору координат <math>\{x_1, x_2 \dots x_n\}</math> на некотором Шаблон:S многообразии другой набор координат <math>\{x_1', x_2' \dots x_n'\}</math>:
- <math>\begin{cases} x_1' = x_1'(x_1, x_2, \dots x_n)
\\ x_2' = x_2'(x_1, x_2, \dots x_n) \\ \dots \\ x_n' = x_n'(x_1, x_2, \dots x_n) \end{cases}</math>
При этом после преобразования должно сохраняться однозначное соответствие между точками многообразия и наборами координат (допускаются исключения для некоторых особых точек).
Сводку основных формул преобразования для практически важных координатных систем см. в статье Система координат.
Трактовка
Преобразование координат может трактоваться двоякоШаблон:Sfn.
- Пассивная точка зрения — происходит смена координат точек многообразия. Все точки при этом остаются на своих местах.
- Активная точка зрения — преобразование ставит в соответствие каждой точке многообразия другую точку. Система координат при этом не меняется.
Пример для евклидовой плоскости:
- <math>\begin{cases} x' = x + 1 \\ y' = y \end{cases}</math>
Данное преобразование можно истолковать одним из двух способов.
- Смена системы координат, которая увеличивает абсциссы всех точек на 1.
- Перенос всех точек плоскости на 1 параллельно оси <math>x.</math>
Классификация
По типу формул все преобразования координат можно сгруппировать в разнообразные классы с общими типовыми свойствами. Далее перечислены некоторые практически особо важные классы преобразований, которые могут комбинироваться один с другим.
- Изометрия — преобразования, сохраняющие все длины. В том числе:
- Вращение вокруг точки или оси.
- Параллельный перенос.
- Отражение. Сочетание этих трёх типов называется движением.
- Конформное отображение, сохраняющее все углы. В том числе:
- Подобие — углы сохраняются, но все длины умножаются на некоторый постоянный коэффициент растяжения/сжатия.
- Аффинное преобразование.
Обычно выделенный класс является группой преобразований в смысле общей алгебры, то есть композиция двух преобразований относится к тому же классу и для каждого преобразования существует обратное. Исследование этой группы позволяет выделить симметрии и инварианты преобразований.
Инварианты
Инвариантом данного преобразования координат называется функция координат, значения которой после преобразования не меняютсяШаблон:Sfn. Например, вращения и переносы не меняют расстояния между точками евклидова пространства. Инварианты являются важной характеристикой группы преобразований.
См. также
- Вектор (геометрия)
- Инвариант (математика)
- Преобразования Галилея
- Преобразования Лоренца
- Тензор
- Эрлангенская программа
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Яглом И. М. Геометрические преобразования. Тома 1, 2. — М.: Гостехиздат, 1956, 612 с.
Ссылки
Примечания
