Русская Википедия:Преобразование последовательностей

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Преобразование последовательностей — оператор, действующий на Шаблон:Нп3. Преобразование последовательностей включает в себя такие понятия, как свёртка одной последовательности с другой, их суммирование и биномиальные преобразования, а также преобразования Мёбиуса и Шаблон:Нп3. Преобразования последовательности могут использоваться для ускорения сходимости ряда.

Определение

Пусть дана последовательность <math>S=\{ s_n \}_{n\in\N}.</math> Её преобразование обозначается <math>\mathbf{T}(S)=S'=\{ s'_n \}_{n\in\N},</math> где

<math>s_n' = T(s_n,s_{n+1},\dots,s_{n+k}),</math>

причём и <math>s_n</math>, и <math>s'_n</math> являются либо вещественными, либо комплексными числами. Также можно в общем случае считать их элементами векторного пространства.

Преобразованная последовательность <math>s'_n</math> сходится быстрее, чем <math>s_n</math>, если

<math>\lim_{n\to\infty} \frac{s'_n-\ell}{s_n-\ell} = 0,</math>

где

<math>\ell</math> — предел сходящейся последовательности <math>S</math>.

Если отображение <math>T(s)</math> линейно по каждому своему аргументу, то есть если

<math>s'_n=\sum_{m=0}^{k} c_m s_{n+m},</math>

для некоторых констант <math>c_0,\cdots,c_k</math>, то преобразование <math>T(s)</math> называется линейным преобразованием последовательности. Если это условие не соблюдается, то преобразование называется нелинейным.

Примеры

• Биномиальные преобразования;
• преобразования Мёбиуса;
• Шаблон:Нп3;
• Шаблон:Нп3.

Литература

• Hugh J. Hamilton, "Mertens' Theorem and Sequence Transformations", AMS (1947)
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Transformations of Integer Sequences Шаблон:Wayback, a subpage of the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences