Русская Википедия:Преобразование треугольник-звезда

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Преобразование треугольник-звезда — способ эквивалентного преобразования пассивного участка линейной электрической цепи — «треугольника» (соединения трёх ветвей, которое имеет вид треугольника, сторонами которого являются ветви, а вершинами — узлы), в «звезду» (соединение трёх ветвей, которые имеют один общий узел). Эквивалентность «треугольника» и «звезды» обусловлена тем, что при одинаковых напряжениях между одноименными выводами электрической цепи токи, которые втекают в одноименные выводы, а следовательно и мощности также будут одинаковыми.

Дальнейшие рассуждения проводятся для резисторов, но фактически применимы к произвольным импедансам.

Прямое преобразование

Файл:TriangleR.png Файл:StarR.png

Рассмотрим приведенные выше схемы относительно выводов 1 и 2.

В схеме «треугольник» резистор <math>R_{12}</math> соединён параллельно с последовательно соединёнными резисторами <math>R_{13}</math> и <math>R_{23}</math>, что соответствует последовательно соединенным сопротивлениям <math>R_1</math> и <math>R_2</math> в схеме «звезда». Отсюда следует, что:

<math>R_1+R_2=\frac{R_{12} \cdot(R_{23}+R_{13})}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}</math>

Аналогично для других пар выводов:

<math>R_1+R_3=\frac{R_{13} \cdot(R_{12}+R_{23})}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}</math>

<math>R_2+R_3=\frac{R_{23} \cdot(R_{12}+R_{13})}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}</math>

Решая данную систему уравнений относительно сопротивлений <math>R_1</math>, <math>R_2</math> и <math>R_3</math> , получаем:

<math>R_{1}=\frac{R_{12} \cdot R_{13}}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}</math>

<math>R_{2}=\frac{R_{12} \cdot R_{23}}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}</math>

<math>R_{3}=\frac{R_{23} \cdot R_{13}}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}</math>

Обратное преобразование

Решив исходную систему уравнений относительно сопротивлений <math>R_{12}</math>, <math>R_{13}</math> и <math>R_{23}</math> получим формулы для обратного преобразования, из «звезды» в «треугольник»:

<math>R_{12}=R_{1}+R_{2}+\frac{R_{1} \cdot R_{2}}{R_{3}}</math>

<math>R_{13}=R_{1}+R_{3}+\frac{R_{1} \cdot R_{3}}{R_{2}}</math>

<math>R_{23}=R_{2}+R_{3}+\frac{R_{2} \cdot R_{3}}{R_{1}}</math>

Применение

Преобразование треугольник-звезда может быть полезным для расчёта сопротивления несбалансированного моста при <math>\frac{R_{1}}{R_{2}}\neq\frac{R_{4}}{R_{3}}</math>.

Файл:BridgeR.png