Русская Википедия:Приближение Буссинеска
Шаблон:Механика сплошных сред Уравнения тепловой конвекции (уравнения Буссине́ска, приближение Буссине́ска) в приближении Буссинеска — Обербека — наиболее популярная модель для описания конвекции в жидкостях и газах.
Модель включает в себя уравнение Навье — Стокса, уравнение теплопроводности и уравнение несжимаемости. Основная идея приближения состоит в особенности учёта зависимости плотности от температуры. Именно, в системе уравнений конвекции данная зависимость учитывается только при массовых силах:
<math> \rho_0 \left( \frac{\partial \vec{v} }{\partial t} + (\vec v \cdot \nabla)\vec v \right) = -\nabla p + \eta \Delta \vec v + \rho(T) \vec g, </math>
<math> \frac{\partial T}{\partial t} + \vec v \cdot \nabla T = \chi \Delta T, </math>
<math> \operatorname{div} \vec v = 0, </math>
где <math>\vec v</math> — скорость течения, <math>T</math> — абсолютная температура, <math>p</math> — давление, <math>\eta</math> — динамическая вязкость, <math>\chi</math> — коэффициент температуропроводности, <math>\vec g</math> — ускорение свободного падения.
Часто для зависимости плотности от температуры применяется линейная аппроксимация:
<math>\rho (T) = \rho_0 (1 - \beta \theta)</math>,
где <math>\beta</math> — коэффициент объёмного расширения, <math>\theta=T-T_0</math> — отклонение температуры от равновесного состояния, <math>\rho_0</math> — плотность жидкости при некоторой равновесной температуре <math>T_0</math>. Поскольку <math>\beta</math> и отклонение температуры обычно относительно невелико, то линейное приближение обладает приемлемой точностью в большинстве исследуемых задач.
Подстановка линейной зависимости плотности и перенормировка давления позволяют исключить слагаемое <math>\rho_0 \vec g</math>. Окончательно задача конвекции несжимаемой жидкости в приближении Буссинеска принимает следующий вид:
<math> \frac{\partial \vec{v} }{\partial t} + (\vec v \cdot \nabla)\vec v = - \frac{1}{\rho_0} \nabla p + \nu \Delta \vec v - \beta \theta \vec g, </math>
<math> \frac{\partial \theta}{\partial t} + \vec v \cdot \nabla \theta = \chi \Delta \theta, </math>
<math> \operatorname{div} \vec v = 0, </math>
здесь <math>\nu</math> — кинематическая вязкость.
Приведённая задача конвекции в различных постановках неоднократно исследовалась. Наиболее широко известна задача Рэлея — Бенара о конвекции в плоском слое жидкости. При определённых условиях возможно точное решение задачи, например, для ламинарной конвекции в вертикальном слое при подогреве сбоку (иногда встречается под названием «задача Гершуни»).
См. также
Литература
- Остроумов Г. А. Свободная тепловая конвекция в условиях внутренней задачи. Москва — Ленинград. Гостехиздат.— 1952.
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Курс теоретической физики. Т. 6. Гидродинамика.— М.:Наука.— 1988.—736 с.— § 56
- Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Устойчивость конвективных течений.— М.:Наука.— 1989.
- Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости.— М.:Наука.— 1972.
- Кригель А. М. О применимости приближения свободной конвекции к атмосферной турбулентности // Вестник Ленинградского гос. университета.— Сер.7.—1991.—Вып.2(14).—С.107-110.
